必要条件と十分条件の問題

質問

よろしくお願い致します。集合の問題です。

問題文
集合Ａ、Ｂを次のように定める
A={14L+10m/Lとmは整数}
Ｂ＝{２ｎ/ ｎは整数}
このとき、x∈Aであることは、ｘ∈Bであるための○。

○ に、必要条件、十分条件のような言葉を入れます。

答えは、必要十分条件ですが、納得がいきません。
x∈A　→、ｘ∈Bは真でわかりましたが、
ｘ∈B 　→　x∈A　がどうして真なのかわかりません。

証明の仕方を教えてください。
例えば、ｘ＝6のとき、Bはすぐに満たすことがわかりますが、Aを満たす数はありますか？
あるような気もしますが、ないような気もします。
L＝3/7-5/7n
になるので・・・やりましたが、見つからないような気がしました。
いずれにしろ、任意の数でなりたってもしょうがないので、証明できるのだと思いますが、
いまいちよくわかりません。

教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

#1です。
根本的な誤解があるように思います。
それぞれを書いて見ます。(任意という言葉の使い方も少しおかしいのでは?)

(1)x∈A　→　ｘ∈B

任意のL,mに対して
14L+10m=2(7L+5m)
から対応するn=(7L+5m)が存在します。
これでA⊆Bであることが示せました。
よって、少なくとも
x∈Aであることは、ｘ∈Bであるための十分条件
です。
この時点ではあるnに対してどのようなL,mを用いても
示せない可能性は残っています。

(2)ｘ∈B 　→　x∈A　

前述のように任意のnに対して

2n=14(3n)+10(-4n)

ですから任意のnに対応するL=3n,m=-4nなるL,mの組があります。
任意のnに対応するL,mが存在するので
こちらではB⊆Aあることが示せています。
よって必要十分条件です。

(1)ではどのようなL,mでも偶数になることを示しました。
(2)ではどのような偶数でも14L+10mという形で表せることを示しました。

再度書きますが、任意のL,Mについて考えるのは(1)での作業です。
(2)においてはあるL,mが存在していればよいのです。そこは混同しないでください。

なお、x=6 (n=3)のとき、少なくともL=3*3=9、m=-4*3=-12で6になります。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
（１）はx∈A　→　ｘ∈B、の証明だから、任意のL、ｍに対してｘ∈Bが成立しなければいけない、ということですね。
（２）では、任意のｎに対してあるL、ｍが存在すれば十分条件といえるということですね。
（すいません、質問の内容などで、確かに「任意」という言葉の使い方間違っていたかもしれません。（２）では、「任意のｎに対して」であって、「任意のLとｍで」ではないですね。すみませんでした。）
なので、（２）の目的は、すべての２ｎを１４L+１０ｍの形で表すことができるか、ということですね。

すべての２ｎが１４L+１０ｍで表すことができるか？
２ｎ＝１４L+１０ｍ＝２（７L＋５ｍ）より、
すべての任意のｎに対して、ｎ＝７L＋５ｍとなるLとｍが存在すればよい、
・・・ここからがわかりません。
ご回答では、２ｎ＝１４L＋１０ｍとなるL、とｍを考えられているのですよね？

それで求めるLとｍを任意のｎを用いて表すと
＞＞2n=14(3n)+10(-4n)
となる、よって、任意のｎで成立する、ということですね。

あ、今やっとご説明していただいた内容がわかりました。
でも、すごいややこしい・・・
この問題を１０分ではできない・・・
それどころか、今は、説明していただいてやっとわかったような気がしますが、次回自分でやったらできるかどうか、、、
なんでこんなにややこしいのでしょう。

まだまだ練習がたりないのでしょうね。
度々ご回答いただいてありがとうございます。
何度も何度もやってみます。