必要条件と十分条件の問題

質問

よろしくお願い致します。集合の問題です。

問題文
集合Ａ、Ｂを次のように定める
A={14L+10m/Lとmは整数}
Ｂ＝{２ｎ/ ｎは整数}
このとき、x∈Aであることは、ｘ∈Bであるための○。

○ に、必要条件、十分条件のような言葉を入れます。

答えは、必要十分条件ですが、納得がいきません。
x∈A　→、ｘ∈Bは真でわかりましたが、
ｘ∈B 　→　x∈A　がどうして真なのかわかりません。

証明の仕方を教えてください。
例えば、ｘ＝6のとき、Bはすぐに満たすことがわかりますが、Aを満たす数はありますか？
あるような気もしますが、ないような気もします。
L＝3/7-5/7n
になるので・・・やりましたが、見つからないような気がしました。
いずれにしろ、任意の数でなりたってもしょうがないので、証明できるのだと思いますが、
いまいちよくわかりません。

教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#47894

> 7L+5mで任意の整数なのはわかったのですが、それ以降がいまひとつ

ある整数 X について、７で割った時の商をp、余りをq　とすれば、X＝7p+q　（ｐは整数、ｑは０≦q≦６を満たす整数）と書けます。例えば負の数のときでも、-13＝7×（-2）＋１　で表せますね。

ここで、X=７L+5m　と表すことを考えると、例えば
X=7p+0　：　L=p、m=0
X=7p+1　→　X=7(p-2)+5*3　：L=p-2、m=3
X=7p+2　→　X=7(p-4)+5*6　：L=p-4、m=6
X=7p+3　→　X=7(p-1)+5*2　：L=p-1、m=2
X=7p+4　→　X=7(p-3)+5*5　：L=p-3、m=5
X=7p+5　→　X=7p+5*1　：L=p、m=1
X=7p+6　→　X=7(p-2)+5*4　：L=p-2、m=4
となって、X=７L+5m　を満たすL,mが何かしら見つかるはずです。

あるいは、X＝5p+q　と書けるので、
X=７L+5mで表すとすると、
X=5p+0　：　L=0、m=p
X=5p+1　→　X=5(p-4)+7*3　：L=3、m=p-4
X=5p+2　→　X=5(p-1)+7*1　：L=1、m=p-1
X=5p+3　→　X=5(p-5)+7*4　：L=4、m=p-5
X=5p+4　→　X=5(p-2)+7*2　：L=2、m=p-2
こんな感じになります。

一方、6L＋3m　のような式の場合、任意の整数 Xに対して、X＝6L＋3m
を満足させる整数L,m　の組はありません。これは、６、３が互いに素ではない（１ではない約数がある）からです。6L＋3m、は、３の倍数にしか対応できませんね。

お礼

度々ご回答いただきまして、ありがとうございます。
ですが、きっと根本的なところがわかっていないのでしょうね。
読ませていただいても、何をしているのか、（何を導き出すためのものなのか）がわかりません。

＞ある整数 X について、７で割った時の商をp、余りをq　とすれば、X＝7p+q　
のところは、７で割っているのだから、あまりｑは０から６のいずれかになるはずなのはわかりました。
ただ、
X=7p+1、X=7p+2　・・・でｐ－２や、ｐ－４や、５にかける３や６をかかれていますが、この場合、Lとｍの変数二つなので、見つけるのが大変ですよね？これは地道に探し出すしかないということでしょうか。

後半も５で割っているので、そのあまりは０から４なので、ｘ＝５ｐ+0・・・ｘ＝５ｐ+4までかけるということですね。

最後のご説明も考慮にいれると、今回の問題では、５と７が互いに素であるから、任意の整数Xに対してX＝７L+５ｍをみたす整数Lとｍが存在するが、これが互いに素でない場合、（例えば３と６などの場合）はｘ＝６L+３ｍを満たす任意のLとｍが存在しないということですね。
ですが、互いに素な場合は任意のLとｍが存在するが、互いに素でない場合は存在しない、というのが・・・今はまだわかりません。

でも、なんとなくそんな気はします。もう一度考えてみます。ありがとうございます。