跳ね返り係数について

質問

こんばんは！
e＝－(ｖa´－ｖb´)/ｖa－ｖｂ
跳ね返り係数についてなのですが、
なぜこのような式になるのでしょうか？？
参考書を読んでもちょっとわからなかったです。

予想では相対速度を利用していると思うのですが、なぜマイナスがでてくるのかとかがよくわかりません。

物理がお得意の方、
よろしくお願いします！

回答No.2

tak2006 · ベストアンサー

先ず、無重力空間における、壁(速度＝0)とスーパーボールで話をしましょう。
スーパーボールを速度vで壁にぶつかったとき、v'でスーパーボールが跳ね返ったとします。
この衝突前後の速度の比が跳ね返り係数eであり、『跳ね返り定数を0≦e≦1となるように』設定すると、

e＝|v'/v|

となります。ここで、『v'(衝突後)はv(衝突前)とはスーパーボールの進む方向は逆』なので、互いの符号は一致しません。
即ち、v'/v≦0となるので、絶対値記号を外そうとすると、マイナスが付いて

e＝－v'/v

となります。

さて、スーパーボールAとスーパーボールBのように物質が2つになったときはAのボールを壁として、AからみたBのボールの相対速度(va－vb)が衝突後に(va'－vb')になったと考えれば、上記と同様にして

e＝－(ｖa´－ｖb´)/ｖa－ｖｂ

が得られます。

stripeさん、話は変わりますが、前回『質問：運動の法則の運動方程式について』の私の回答にミスがあったので、ここで訂正させてください(削除になるかな？)。

＞よって、力を[kgw]、質量を[kg]、加速度を[m/s^2]で話をする場合は、
＞F=g×ma
＞となり、比例定数kが重力加速度gの値と一致することになります。

なんですが、

F=g×ma　　　　　　　　　　　　⇒　　F[kgw]=(1/g)×ma
比例定数kが重力加速度gの値と　　⇒　　比例定数kが重力加速度gの逆数と

の間違いです。
締め切られたので訂正ができなくて困ってました。すみません。

お礼

どうもありがとうございます。
壁の話がとてもわかりやすかったです。

＞スーパーボールAとスーパーボールBのように物質が2つになったときはAのボールを壁として、AからみたBのボールの相対速度(va－vb)
なのですが、ごめんなさい、ちょっとわかりませんでした。
スーパーボールＡを壁とするのですよね、
そうするとＡから見たＢの速さはｖｂ-ｖaかなと思ったのですが、
う～ん、ちょっとわかりません。
良かったら↑の疑問もお願いします。

いつもお世話になってます。
ごめんなさい！僕もしっかり読んだつもりだったのですが、気づきませんでした。
こちらこそ失礼しました。
Ｎをｋｇｗにするには9.8で割りますもんね。
わざわざありがとうございました！！

回答No.9

saigoudon

端的に言いますと、e<0の状態とは
「衝突後に貫通した場合」
を表しています。
速度が全く変わらなければe=-1です。
ボールと障子が衝突するときとか
(当然ボールは跳ね返らずに障子を貫通していく)
がこれに当たるかと思います。

もしかしたらこれは一般的な定義ではなく、
貫通した場合を便宜上、弾性係数が負の状態で表しているだけなのかも
知れませんが、
まあこれを知ったときは面白いものだなと思いました。

面白いと思って頂けたらば幸いです。

お礼

ナルホドです！
多少跳ね返るというステレオタイプがあったのかもしれません。

こうゆう発想みたいなのはすごく大事だと思いました。
どうもありがとうございました！

回答No.8

saigoudon

補足と言うか豆知識的な話なんですが、
教科書とかをみると
0<=e<=1
と書いてありますが、実は
-1<=e<=1
という風に書いてある本もあります
(一冊しか僕は知りませんが)。
「e=-1ってどういう状況だ?」
と思われた方は是非考えてみて下さい。
答えが分かると「なるほど」と思わず
感心してしまいます。

もしつまらない話でしたらすいません。

お礼

遅れてごめんなさい！
＞「e=-1ってどういう状況だ?」
ってどういうのですか？？

もしよかったら教えて下さい！

補足

皆様お礼がなかなか書けなくてすみません！！！
もう少し時間下さい！！
すみません！

回答No.7

ayuayuayuayuayu

またまた、補足します。もちろん一緒にくっついて行くこともあります。
それにぶつかったときに自分の持っていた運動量を相手にあげてしまって自分はとまってしまうって事もあります。
それは跳ね返り係数が０になる時だけです。
それ以外は、かならず跳ね返ります。
跳ね返るときのほうが一般的なので、今は跳ね返るときのことだけ考えます。

お礼

跳ね返るのが一般的なのですね。

非常に遅れてしまってごめんなさいです！
本当にありがとうございました！！！

回答No.6

tak2006

>物体Ａ(左にある球)はＢに当たると左にはねかえるのでしょうか？？
>なんとなくＡもｂも一緒に右にいっちゃいそうなのですが、

必ずしも跳ね返るとは言い切れません。同じ方向に進むことも考えられます。

次をイメージしてください
5[kg]の160[km/h](恐ろしく危険ですが)で進む鉄球が、50[km/h]で進む重さ数[g]の卓球ボールにぶつかっても、ＡとＢとの進む方向は変わらないと思いませんか？
また、Ｂを壁とした時は、Ｂが極端に重く、vb＝0のボールであると考えられます。この場合はＡをぶつけると跳ね返ってしまいますね？

stripeさんがご覧になっている教科書には運動量保存則が載っていると思います。
「外から外力が加えられない限り、運動量（質量×速度の総和)は一定である。」
という法則です。

反発係数e=1とみなせば、今回の問題では、

ma×va＋mb×vb＝ma×va'＋mb×vb'

という式が得られ、これを計算すれば物体Ａ,Ｂが衝突後にどちらの方向にどのくらいの速度で進むのかがおおよそ見当がつきます。

お礼

遅くなってごめんなさい！！！！

極端に重かったり速かったりした場合ははねかえりませんよね。

何回も教えていただいてホントにどうもです！！
ありがとうございました！

回答No.5

tak2006

＞＞スーパーボールAとスーパーボールBのように物質が2つになったときはAのボー＞＞ルを壁として、AからみたBのボールの相対速度(va－vb)
＞なのですが、ごめんなさい、ちょっとわかりませんでした。
＞スーパーボールＡを壁とするのですよね、
＞そうするとＡから見たＢの速さはｖｂ-ｖaかなと思ったのですが、

そうですね、すいません。壁をＢ、ボールをＡとしてください。

お礼

わかりました！

回答No.4

ayuayuayuayuayu

昨日の説明に補足しますね。
●→ ●→　　
va　　　　 vb
パソコンの都合上矢印の長さは一緒ですがva>vbと考えてください。
しばらくすると、絶対に二つの物体は衝突しますよね。　
　　　　　　　　　●●
　　　　　　　物体a　物体b
一般的には物体aと物体bが衝突すると、
物体aは衝突するときとは反対の向きに進みますので、
最初vaの向きを正としていたので、
衝突後の速度は-va'になります。
←●　　　　　●→
　　　　-va'　　　　vb'
そして物体bは物体aが衝突する向きに動いて行くのでvbとなります。
そこからaからみた相対速度を考えていきます。
そうすると-(va'-vb')が出てくることがわかると思いますよ。
高校のとき物理苦手だったんで、stripeさんの疑問はすごく分かります。
私も高校時代、相対速度が分からなかった。
大学に入って、やっと理解してきましたよ。
物理って、結構、後で急に理解するものなので、
あせらずに自分のペースで勉強したらいいと思いますよ。
やっぱ、ベクトルはちゃんとした図に描いて説明しないと分かりにくいな。
もう一回自分で図を書いて考えてみてね。

補足

どうもありがとうございます。
後でわかる事もけっこうあるのですね。
はい、あせらないでやっていきたいと思います。

またちょっと力不足で理解できないのですが、
＞物体aは衝突するときとは反対の向きに進みますので、
最初vaの向きを正としていたので、
衝突後の速度は-va'になります。
なのですが、
物体Ａ(左にある球)はＢに当たると左にはねかえるのでしょうか？？
なんとなくＡもｂも一緒に右にいっちゃいそうなのですが、
でもａは左にいくのでしょうか？？
↑の疑問もできればお願いします！！

回答No.3

Mell-Lily

跳ね返り係数は、二つの玉の衝突を考えるときに用いる概念です。二つの玉A,Bが衝突するとき、衝突の前は、互いに近付いていきますが、衝突の後は、互いに離れていきます。跳ね返り係数eを、
　e=-(v_a'-v_b')/(v_a-v_b) (v_a,v_b:衝突前のA,Bの速度、v_a',v_b':衝突後のA,Bの速度)
このように定義すれば、跳ね返り係数は、正の数になります。跳ね返り係数にマイナス記号を付けるのは、跳ね返り係数を正数にするためです。負数を扱うより、正数を扱った方が、直感的に理解しやすいということです。

お礼

－ではわかりにくですね。
参考になりました。
どうもありがとうございました！

回答No.1

ayuayuayuayuayu

まず、vaの向きを正として考えます。
衝突しようとするときに、物体aが物体bに近づくときの
相対速度はva-vbですよね。
衝突した後、物体が離れていくときの相対速度は、
-va'+vb'になりますよね。
この式を－でくくってみてください。
そうすると-(va'-vb')になりますよね。
だから必然的に－が付くんです。
もし－がないと、反発係数がすべて負の数がでてしまいます。
それは、反発係数の定義である、e≧0に矛盾してしまいます。
相対速度って言うのは、結構、文章に惑わされてしまうので、
一回一回、ちゃんと図を書いて、ベクトルを使って、
じっくり考えて見ると、少しずつ分かってくると思います。
こんな説明で分かりますかね。
あっ、専門家のところにチェックつけてしまいましたが、
一応理系なだけで、物理を専門的に扱う分野ではないので、
かなり自信ないです。
自信がある人の答えを信じたほうがいいです。
物理が不得意なのに答えてすいません。
ちょっとでもお役に立てたなら、幸いです。
物理で悩んでる人を見ると、高校時代の私と一緒で、なんか親近感があって、がんばってもらいたくて。がんばってください。

お礼

どうもありがとうございます。
＞衝突した後、物体が離れていくときの相対速度は、
-va'+vb'になりますよね。
ごめんなさい、どうしてこうなるのかがちょっとわかりません。
＞相対速度はva-vbですよね。
はｖｂがとまっているとみての相対速度ですよね。
あんまり得意じゃないので(泣)
良かったら↑の疑問にも答えてください。

ベクトルを使って考えるのが良いのですね。わかりました。

＞ちょっとでもお役に立てたなら、幸いです。
とても参考になりました！