はねかえり係数の問題です。

質問

よろしくお願いします。
今、高校物理の衝突のところを勉強していますが、わからない問題があります。よろしくお願い致します。

問題は、
長さが２０ｍのなめらかな床を持った静止しているバスの中を20m/sの速さで左に滑っている人がいる。後ろの壁に弾性衝突e=1して跳ね返って行った。バスの質量を２００ｋｇ、人の質量を５０ｋｇとする。また、人、バス、道路の間は摩擦は無くなめらかである。では、左の壁に跳ね返ってから右の壁にあたるまでの時間はいくらか

解答は、１秒で、
解説は、衝突後、バスも動き出す。はねかえり係数がe=1ということは、ぶつかる前後の相対速度が等しい。衝突前のバスから見た人の早さは20m/s、衝突後も等しい。
よって、20/20=1

とあるのですが、いまいちこの解説に納得がいきません。
疑問は
○バスが動くとすると左向きに動くと思いますが、そうすると、人の速度が落ちるのでは？
○e=1ということは、バスは左向き、人は右向きで、相対速度が同じということは、人の速さは実際は２０m/s以上ということですか？
○そもそもeの値によって完全弾性衝突、非弾性衝突、完全非弾性衝突とありますが、それぞれの言葉の意味がわかりません。。。教科書には、はねかえり方の違いとあります。
問題集には、
完全弾性衝突は、力学的エネルギーは保存。
また、完全非弾性衝突とは、一体となって運動、
とありますが、力学的エネルギーは常に保存されるのではないのでしょうか？完全弾性衝突のときだけ力学的エネルギーは保存されるのですか？
「完全弾性衝突は、力学的エネルギーは保存」の意味がよくわかりません。
私は、完全弾性衝突だと、衝突した相手に力が一切与えられないから、人がもっているエネルギーはすべて保存され、衝突した物体にエネルギーを吸収されないはずです。でも、そうだとすると、バスは人からエネルギーを吸収しないはずだから、動かないのではないか、と思います。
でも、ぶつかられたら、当然力はうけとりますよね？

以上のとおり、考えたのですが、よくわかりません。
基本的なところだとは、思いますが、よろしくお願い致します。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

だいぶ混乱しているようですね。

＞○そもそもeの値によって完全弾性衝突、非弾性衝突、完全非弾性衝突とありますが、それぞれの言葉の意味がわかりません。。。教科書には、はねかえり方の違いとあります。

　まず、完全弾性衝突、非弾性衝突、完全非弾性衝突といった衝突のケースについて整理してみます。
　衝突とは、一般に、相手と運動量と運動エネルギをやりとりことです。そして、そのやりとりの仕方を決めるのがはねかえり係数です。

　現実世界では、衝突を起こすとエネルギを放散させます（非弾性衝突：ｅ＜１）。そのエネルギとは、音であったり、熱であったり、あるいは、物体同士を変形させる変形のエネルギだったりします。
　そのため、衝突した物体の運動エネルギを足し合わせても、衝突後のエネルギの方が減ってしまいます。つまり、現実世界では、（運動エネルギだけを考えた）力学的エネルギ保存則が成り立りません。ここで、もし他のエネルギも考慮に入れれば、もちろんエネルギ保存則は成り立ちますが、計算が大変なので、普通はここまで考慮しないのです。そのため、通常考える力学的エネルギだけでみれば、衝突ではエネルギを失うことになるのです。

　さて、大抵は、衝突した物体は、それぞれ別の速度をもって移動しますが、この中で特殊なケースがあります。それは衝突後、同じ速度で移動するケースです（完全非弾性衝突：ｅ＝０）。
　この場合、衝突場所と衝突後の速度が同じですから、同じ場所を移動していることになります。つまり、一体になった運動になっているといえます。具体例としては、弾丸が金属の塊に撃ち込まれてめり込んだ状況を想像してもらえれば分かりやすいと思います。

　ここまでは、非弾性衝突（特殊ケースの完全非弾性衝突を含む)について説明しましたが、もうひとつ現実にはありえませんが、理想的な衝突を想像してみます。もし衝突で失うエネルギがとても僅かで無視できるほど小さいとしたらどうなるか。これが完全弾性衝突といわれるものです。このケースで、運動量保存則と力学的エネルギ保存則を連立して解きますと、衝突前後で速度差(相対速度)の絶対値は変わらない（速度差の正負が反転；ｅ＝１）という結果が導かれます。
　このケースでは、相対速度の絶対値が変わらないということと、エネルギ保存則が成り立つという点から、問題ではよく出されます。はねかえり係数が１に近いビリヤードでは、この衝突が起こっていると考えることができます。

　以上のことをまとめますと、

　　ｅ＜１　非弾性衝突：　　　現実的な衝突。力学的エネルギ保存則は不成立。
　　ｅ＝０　完全非弾性衝突：　現実的な衝突の特殊ケース。衝突後の速度が同一（一体になる）。力学的エネルギ保存則は不成立。
　　ｅ＝１　完全弾性衝突：　　理想的な衝突。力学的エネルギ保存則が成立。衝突の前後で速度差(相対速度)の絶対値は変わらない。

ということになります。

　さて、バスの問題ですが、この問題は「完全弾性衝突⇒相対速度の絶対値は一定」ということと、相対速度の考え方を使っています。

＞○バスが動くとすると左向きに動くと思いますが、そうすると、人の速度が落ちるのでは？

　衝突前ではバスは静止していますので、衝突後は、当然バスは左向きに移動します。その際、道路から見た人の速度が落ちるのではないかと考えておられますが、完全弾性衝突の関係から導かれるのは、相対速度の絶対値が一定ということですから、道路からの人の速度を考慮する必要はありません。バスを基準にして考えればよいのです。
　仮に、道路を基準にして考えた場合、人がバスに対して右向きに移動する速度は、たしかに減少します。しかし、同時にバスも左向きに移動していますので、バスの右の壁は左に移動して人に迫ってくるので、トータルとしては、
　　｛（バスに対する人の相対速度）－（バスの速度）｝＋（バスの速度)
　＝（バスに対する人の相対速度）
となり、バスの速度が相殺されることになります。

＞○e=1ということは、バスは左向き、人は右向きで、相対速度が同じということは、人の速さは実際は２０m/s以上ということですか？

　このケースでは、人はバスよりも軽いので、道路から見れば「バスは左向き、人は右向き」ということになりますが、人はバスの中にいますので道路から見た速度は20ｍ/ｓよりも小さいはずです。
　実際、運動量保存則と、相対速度の絶対値が変わらないということで計算してみますと、
　　０＋50×20＝200Ｖ’＋50ｖ’　（左向きを正。Ｖ’：衝突後のバスの道路に対する速度。ｖ’：衝突後の人の道路に対する速度。）
　　Ｖ’－ｖ’＝－（Ｖ－ｖ）＝－(0－20）＝20

　∴Ｖ’＝８[m/s]、ｖ’＝-12[m/s]
と求められます。

　仮に、バスと人の質量が逆だとしたら、
　　Ｖ’＝32[m/s]、ｖ’＝＋12[m/s]
となりますので、道路から見ると、バスも人も左に移動していることがわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
非弾性衝突、完全非弾性衝突、完全弾性衝突について、わかりました。
私は力学的エネルギーは常に保存されると思っていましたが、やはり、普通自然界では、完全弾性衝突はほとんどありえなくて、力学的エネルギー保存則は成立しないのですね。

＞　衝突前ではバスは静止していますので、衝突後は、当然バスは左向きに移動します。その際、道路から見た人の速度が落ちるのではないかと考えておられますが、完全弾性衝突の関係から導かれるのは、相対速度の絶対値が一定ということですから、道路からの人の速度を考慮する必要はありません。

ここについてなのですが、すみません、質問の仕方が悪かったのですが、私の質問
＞＞向きに動くと思いますが、そうすると、人の速度が落ちるのでは？
の「人の速度」というのは、「道路から見た人」のことではなく、「バスの中ですべっている人」のことのつもりでした。誤解を招く質問の仕方ですみませんでした。

バスや人の質量の違いで進む方向も違ってくるのですね。私はぶつかったらそれは常にはねかえる、つまり反対方向に行くと思っていました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#40706

Ａ２です　追加

あなたの質問に対して順番に答えてなくてすみません。

○バスが動くとすると左向きに動くと思いますが、そうすると、人の速度が落ちるのでは？

落ちてます。２０が１６になってます。

○e=1ということは、バスは左向き、人は右向きで、相対速度が同じということは、人の速さは実際は２０m/s以上ということですか？

ではないです。

人は右向き１６、バスは左向き４　です

相対速度とは　相手の速度－自分の（人）の速度　ですので・・・・・

ここまで書いて気づきましたが、解答の相対速度が等しい　という記述は正確ではないですね、正確には相対速度の大きさ　でしょう。　要するに　人から見たら　バスは２０の速さで近づき２０の速さで遠ざかる。速度でいうと、２０　が　－２０　になる。

バスの速度－人の速度は　衝突前後で符号が逆になります。

それが　参考書などに書いてあるｅ＝－・・・のマイナスの意味です。ここにマイナスをつけたら、ｅの数字の値がちゃんとプラスになる。

○そもそもeの値によって完全弾性衝突、非弾性衝突、完全非弾性衝突とありますが、それぞれの言葉の意味がわかりません。。。教科書には、はねかえり方の違いとあります。

弾性　という言葉は　もともと　弾む、ばねをのばしても手を話すと元に戻る、プラスチックの定規を曲げてはじくと元のまっすぐに戻る、変形が元に戻る性質のことです。

完全弾性ならば、ぶつかった後も変形が元に戻る、つまり、ポーン、カチーンとよく弾む、という意味です。

それで、はねかえり方とむずびついているのです。

実際にｅ＝１として、運動量保存の法則で衝突前後の速さを計算すると、力学的エネルギー（運動エネルギー）が保存されていることが確かめられます。

また、e＝０～０．９９９　の値を入れて計算すると運動エネルギーが減っていることも確認できます。

さて、高校の教科書などにのっている「正式」用語は

弾性衝突　
非弾性衝突　
完全非弾性衝突　の３つの用語です。

意外なことに
完全弾性衝突ということばはあまりお目にかかりません。（使ってもいいですよ）

弾性衝突：ｅ＝１のこと。

非弾性衝突：ｅ＝０　、０．０１、０．９９９　のこと

完全非弾性衝突：ｅ＝０　のこと。

「完全弾性衝突」という用語は特にのってません。

ですから、　「弾性衝突」　と書いてあれば　これはｅ＝１のことであるとして立式してください。もちろん入試などで完全弾性衝突と書いてある場合もｅ＝１です。

「弾性衝突」という言葉はｅ＝１のときにつかうことばということです。　ただよく弾むなあ程度では「弾性衝突」といことばは使わないのです。

では　結構よく弾む場合（ｅ＝０．９など）はなんというか。これは「非弾性衝突」といいます！　ん？　という気がしますね。　非＝弾まないではないの？？というわけです。ですが、高校物理の教科書では

非弾性衝突ということばは　これはｅが０　でも０．９９９でも全部この非弾性衝突という言葉を使います。ですから、結構よくはねた場合でも「非弾性衝突」というのです。言葉のニュアンスから言うと違和感があるかもしれません。
また、ややこしいのはｅ＝０の場合もこの言葉をつかうのです。

ただし、ｅ＝０の場合は、別に　完全非弾性衝突　という言葉を使うことが多いです。この言葉は高校物理では「正式用語」です。衝突後一体になる、べちゃっ、粘土の玉がくっついてしまう　などです。

お礼

度々ご丁寧にご回答頂き、ありがとうございます。
＞ここまで書いて気づきましたが、解答の相対速度が等しい　という記述は正確ではないですね、正確には相対速度の大きさ　でしょう。
なるほど、速度は確か、向きも考えるのですよね。

確かに非弾性衝突というと弾まないようですが、自然界ではほとんどありえないe=1以外のことを指すということは、自然界ではほとんどが非弾性衝突ですね。
言葉をちゃんと覚えないとだめですね。ありがとうございました。

回答No.2

noname#40706

頑張っておられますね。　とはいえ　慣れない人には、なかなかわかりにくい問題です。

まず、はねかえり係数　です

これは物体が何かにぶつかったとき、ぽーんとよくはねかえるか、あるいはぐちゃっと音がして、あまりはねかえらないかをしめす数字です。

－－－－－－１０ｍ／ｓ→｜
－－－－－－１０ｍ／ｓ←｜

高いところから物を床に落としたとき。、１０の速さでぶつかったら１０の速さではねかえった。これがｅ＝１です。

７の速さではねかえったら　ｅ＝０．７

０　つまりはねかえらずべちゃっとくっついたらｅ＝０

ということです。

これは　動いている物体同士の間でも同じ定義です。

式で書くと

ｅ＝遠ざかる速度／接近する速度　

です。　（正確に言うと、速度の向きが　逆ですから、右辺にマイナスがつきますが）

参考書などにはもっときちんとしたかたちで書いてあります。

さて、この問題は

｜バス後の壁　　　←人　　　バス前の壁｜

という位置関係ですね

そうすると、今回のバスと人の場合では　ｅ＝１ですから、

１：衝突前

バスの速さ０、人の速さ２０（左向き）

したがって接近する速度２０

｜バス後の壁　　　←人２０　　　バス前の壁｜

２：衝突後

遠ざかる速度、これが２０のはずです。

具体的には

バスの速さ４（左向き）、人の速さ１６（右向き）

になります。

（なぜ４、１６　になるかは後述）

　　←速さ４　　速さ１６→　←速さ４
｜バス後の壁　　　人　　　バス前の壁｜

人は１６の速さで右に進み、バスは４の速さで左に進むならば、人が反対側にぶつかることは納得できますね。さらにそれが１秒後であることはわかりますか。（２０の速さで前の壁に接近してるのですよ）

あなたが人であれば、バスの前の壁が２０の速さであなたの方に接近してくるのが見えるでしょう。

＜＜なぜ４、１６　になるか＞＞

これが「運動量保存の法則」です。

下のように、衝突前後の図と運動量保存の法則の式を２行にわたって書いてください。図と式が上下に対応するように書くのがポイントです。
あえて１，２などの添え字は書いてないです。書かない方が紛らわしくないです。

　衝突前の図　　　　　　衝突後の図
　　□　　　　■　→　　　　　□　　■　
　ｍｖ　＋　ＭＶ　＝　　・・・・・

この式にバスや人の重さ、速さ（左向きはマイナス）を代入して計算してみてください。

あえて１，２などの添え字や「ダッシュ」は書いてないです。書かない方が紛らわしくないです。また、公式を丸暗記しないでください。そのかわり必ず衝突前後の図を書きその下に式を書いて計算してください。

これで答えが出るはずです。

さて、ここで、４：１６　という値は　バスの重さと人の重さの「逆比」になっているということに気がついてくれればうれしいです。
重さが４分の１ならば相手の４倍の速さで吹っ飛ばされるのです。これを知っておけば、ややこしい計算をしなくても、答えだけはわかることがあります。

私がはじめに速さが４，１６になる・・・・と書きましたね、あれは上の考えを使って計算なしで書いたのですよ！！　

重さが２００と５０　すると速さが１：４　そして離れる速さは２０。すると４と１６だろうな・・・

という思考回路です。まだあなたにはむずかしいかもですね・・・

力学的エネルギーが保存されるかどうか

ちょっと意外な気がすると思いますが衝突では力学的エネルギーは保存されないことがあります。
具体的には下のように分類されます。

ｅ＝１　運動量○　力学的エネルギー○　
ｅ＝１でない　運動量○　力学的エネルギー×
ｅ＝０　運動量○　力学的エネルギー×

○保存、×保存されない（減少）

結局運動量はいつでも保存されるということです。

これについてはＡ１さんがくわしく回答されています。

難しい話ですので、今の段階では、

運動量→いつでもｏｋ、

力学的エネルギー→ｅ＝１以外はだめ。

と覚えておいてください。

ぐちゃっと音がしたらエネルギーは減っています。気持ちよくコーンとはねかえったらエネルギー損失なし。コーンの音のエネルギーはどうなったの？と深く気にしないで、あくまでもイメージですよ。

ｅ＝１でエネルギーが保存される　　とは

同じ速さではねかえるということは高いところから落としたら同じ高さまで上がるということです。これはエネルギーが減っていないことを示唆しています。逆に、はねかえる速さが小さいと、同じ高さまであがれない、と言うことはエネルギーが減っていることを示唆しています。一応、この程度のご理解で充分だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、速度20m/sというのは、滑っている人の速さそのものではなく、バスが左に4m/s,滑っている人が右に16m/sだから、相対速度が、20m/sになるので。。。ということですね。
それも、わざわざ計算しなくても、理解できれば、重さでその割合がわかるということですね。私も早く物理の勘を身につけたいと思います。
衝突の種類についてもみなさんのご説明でよくわかりました。
自然界では、衝突すると音や熱エネルギーとして放出されることがあるので、必ずしも力学的エネルギーは保存されない、されるのは、e=1のときのみ、ということですね。
よくわかりました。ありがとうございました。