運動量保存、反発係数についての問題

質問

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図のような台車があります。坂はなだらかで壁の近くは水平になっている。重力加速度をｇ、質量m小球と質量Mの台車、台車と床の間に摩擦は無いものとする。
小球は台車のよりｈ高い所に位置している。
小球を静かに離すと坂を滑り降り壁に衝突する。
そのときの反発係数をe(<1)とする。速度は左向きを正とする。

・小球が衝突する直前の速度ｖ、そのときの台車の速度Ｖとすると衝突直後の小球の速度v´は-ev、、台車の速度はＶ´=-eＶとなるのは、どうしていえるのでしょうか。
e=-(Ｖ´－ｖ)／（Ｖ－ｖ）とあと何か条件が必要なのですか？
（床に速度uで衝突した小球が反発係数e（<1）で跳ね返った場合速さはeuとなるのはわかるのですがそれとおんなじと考えなのか）

・それが何回も繰り返されると全体が止まってしまうという過程が導けません。
衝突するたびにエネルギーが失われていくから？

・全体的な変位はいくらか（小球から壁までのキョリをｄとする）
小球の変位をΔｘ、台車の変位をΔＸとすると
ｍΔｘ＋ＭΔＸ＝０　←これはどうやって出たの？
Δｘ－ΔＸ＝ｄ
ここから
∴Δｘ＝Ｍd／(Ｍ＋ｍ)、ΔＸ＝－ｍd／(Ｍ＋ｍ)
答えはｍd／(Ｍ＋ｍ)となるのはわかりました。

回答No.1

ryn · ベストアンサー

> e=-(Ｖ´－ｖ)／（Ｖ－ｖ）とあと何か条件が必要なのですか？
もう１つ必要なのは運動量保存ですね。
ご質問の文中にはありませんが、
初期状態は台車、小球とも速度０として
　0 = mv + MV = mv' + MV'
が成り立ちます。

この運動量保存から、
　V = -(m/M)v
　V' = -(m/M)v'
となるので、これを
　e = -(V' - v')/(V - v)
の式に代入することで
　v' = - ev
が得られます。

> それが何回も繰り返されると全体が止まってしまうという過程が導けません。
衝突直後 v' = -ev , V' = -eV という速度で跳ねかえり、
斜面を登って戻ってきて２回目の衝突が起こる
直前の速度は ev , eV です。
すると、先程と同様に考えると２回目の衝突直後は
　v" = -(e^2)v
　V" = -(e^2)V
となります。
これを繰り返すと e < 1 ですから
十分な時間がたてば全体は止まります。

> 衝突するたびにエネルギーが失われていくから？
そういうことです。
e = 1 の(完全)弾性衝突のときのみエネルギーは保存します。

> ｍΔｘ＋ＭΔＸ＝０
も運動量保存からでてきます。
　mv + MV = 0
⇔ m(Δx/Δt) + M(ΔX/Δt) = 0
ということです。

お礼

おそくなりました。
大変ありがとうございます。

回答No.3

keyguy

安易に走り水平と垂直に分けずに雑に説明したので嘘を書いてしまいました。修正します。

運動量保存も運動方程式からでますから
跳ね返り係数と運動方程式の２つからすべては求まります

何度も繰り返し衝突するとそのたびに台車と玉との間の相対速度は比率ｅ（＜１）だけ小さくなっていきます。
従って両者の相対速度は最終的には０になるのです。
そして台車が最終的に止まる事がいえれば玉も止まることになるといえるのです。

ｅが必要になるのは最初の問題だけで後の２つは玉と台車の相対速度が最終的に０になるという事実だけを拝借すれば必要有りません。

地上の固定点Ｏを任意に決めて玉の重心のＯからの位置ベクトルをｒとし台車のＯからの位置ベクトルをＲとし
ｒの垂直方向ベクトルをｒｖとし
ｒの水平方向ベクトルをｒｈとし
Ｒの垂直方向ベクトルをＲｖとし
Ｒの水平方向ベクトルをＲｈとし
重力加速度ベクトルをｇとし
玉が台車から受ける力ベクトルをｆとし
ｆの垂直方向ベクトルをｆｖとし
ｆの水平方向ベクトルをｆｈとし
台車が玉から受ける力ベクトルをＦとし
Ｆの垂直方向ベクトルをＦｖとし
Ｆの水平方向ベクトルをＦｈとし
台車が地面から受ける力ベクトルをＥとすると、
ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２ｒ＝ｍｇ＋ｆ（第２法則）
垂直方向では
ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２ｒｖ＝ｍｇ＋ｆｖ
水平方向では
ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２ｒｈ＝ｆｈ・・・（１）
Ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２Ｒ＝Ｍｇ＋Ｆ＋Ｅ（第２法則）
垂直方向では
Ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２Ｒｖ＝Ｍｇ＋Ｆｖ＋Ｅ
水平方向では
Ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２Ｒｈ＝Ｆｈ・・・（２）
ｆ＋Ｆ＝０（第３法則）
すなわち
ｆｈ＋Ｆｈ＝０・・・（３）
台車は垂直方向に動かないから
Ｍｇ＋Ｆｖ＋Ｅ＝０
である。
（１）と（２）を足して（３）を使うと
（ｄ／ｄｔ）＾２（ｍｒｈ＋ＭＲｈ）＝０
すなわち玉と台車の重心の位置ベクトルをｗとし
ｗの水平方向ベクトルをｗｈとすると
ｗｈ＝（ｍｒｈ＋ＭＲｈ）／（ｍ＋Ｍ）だから
（ｄ／ｄｔ）ｗｈ＝一定
初期状態で玉も台車もＯに対して止まっているのだから
（ｄ／ｄｔ）ｗｈ＝０
すなわちｗｈは一定である。
すなわち重心は最初から最後まで水平方向に移動しないのである。
玉がｒからｒ＋ｄに移動し
台車がＲからＲ＋Ｄに移動すると
ｄの水平方向ベクトルをｄｈとし
Ｄの水平方向ベクトルをＤｈとしたとき
重心の水平方向成分は動かないから
（ｍｒｈ＋ＭＲｈ）／（ｍ＋Ｍ）＝
（ｍ（ｒｈ＋ｄｈ）＋Ｍ（Ｒｈ＋Ｄｈ））／（ｍ＋Ｍ）
である。
直ちにｍｄｈ＋ＭＤｈ＝０がでる。

お礼

いや、長い解説ありがとうございます。
運動方程式から運動量保存・・・。知らなかった。
これからは役立てていきます。

回答No.2

keyguy

運動量保存も運動方程式からでますから
跳ね返り係数と運動方程式の２つからすべては求まります

何度も繰り返し衝突するとそのたびに台車と玉との間の相対速度は比率ｅ（＜１）だけ小さくなっていきます。
従って両者の相対速度は最終的には０になるのです。
そして台車が最終的に止まる事がいえれば玉も止まることになるといえるのです。

ｅが必要になるのは最初の問題だけで後の２つは玉と台車の相対速度が最終的に０になるという事実だけを拝借すれば必要有りません。

地上の固定点Ｏを任意に決めて玉の重心のＯからの位置ベクトルをｒとし台車のＯからの位置ベクトルをＲとし
重力加速度ベクトルをｇとし
玉が台車から受ける力ベクトルをｆとし
台車が玉から受ける力ベクトルをＦとし
台車が地面から受ける力ベクトルをＥとすると、
ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２ｒ＝ｍｇ＋ｆ（第２法則）
Ｍ（ｄ／ｄｔ）＾２Ｒ＝Ｍｇ＋Ｆ＋Ｅ（第２法則）
ｆ＋Ｆ＝０（第３法則）
ｍｇ＋Ｍｇ＋Ｅ＝０（第３法則）
である。
最初の２式を足し後の２式を使えば

（ｄ／ｄｔ）＾２（ｍｒ＋ＭＲ）＝０
すなわち玉と台車の重心の位置ベクトルをｗとすれば
ｗ＝（ｍｒ＋ＭＲ）／（ｍ＋Ｍ）だから
（ｄ／ｄｔ）ｗ＝一定
初期状態で玉も台車もＯに対して止まっているのだから
（ｄ／ｄｔ）ｗ＝０
すなわちｗは一定である。
すなわち重心は最初から最後まで移動しないのである。
ところで先に述べた話によって玉と台車の相対速度は最終的には０になるのだから重心が動かないという事を加味すると最終的に台車も玉も止まるのである。
玉がｒからｒ＋ｄに移動し
台車がＲからＲ＋Ｄに移動すると重心は移動しないから
（ｍｒ＋ＭＲ）／（ｍ＋Ｍ）＝
（ｍ（ｒ＋ｄ）＋Ｍ（Ｒ＋Ｄ））／（ｍ＋Ｍ）
である。
直ちにｍｄ＋ＭＤ＝０がでる。