円の重心

質問

高校1年物理の問題から質問です。

半径2rの円Oと、半径rの円O'があり、O'は、Oに内接している。
Oから、O'を切り抜いたものの重心を求めよ。

(問題はそのまま図が出ていて文章になっていなかったので、自分で問題文を書いたため、分かりにくいかもしれませんm(_ _)m)
この図は、実際にはありえない、三日月のような形をしていました。
O'は、Oの中心も通っていました。(あたりまえか...)
一応、O'の位置は右でした。

質問No,894635 ( http://oshiete1.goo.ne.jp/qa894635.html )
に似ているかな、と思ったのですが、これを読んでも理解できませんでした。

中間試験も近いので、どなたか回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

＃１です。
正方形を小さな４つの正方形に分割してそのひとつを切り取ったとします。残りの３／４の面積の図形の重心を求めるのと同じだと書きましたがやられましたか。円の場合とも対応を意識してやってみてください。
（２）の方が対応がやさしいと思います。
（１）の方は面積１の図形と２の図形に分割するところで工夫が必要です。１通りではないからです。円の場合との対応で考えると決まってきます。４つの正方形を仮に色分けしたとします。
□■
■□
から□を切り取ります。
□■
■
黒２つの重心は黒２つの中点です。この様に分けたとき面積３の図形の重心は？　
黒の重心と白の重心を結ぶ線を３等分して黒の方から１／３のところですね。
これで円と対応がつきます。
円の場合、ＯからＯ'を切り抜いた扇形の図形からＯ'と対称の位置にＯ''を考えます。Ｏ''が□になります。残りの図形が■２つになります。
重心を図形的に求める場合は重心のわかっている簡単な図形の組み合わせで考えます。その場合、与えられた図形を「簡単な図形に分解」して考えるという場合と「簡単な図形を補って簡単な図形にもっていく」というのと２通りの方法があります。
普通は分解して考えるという場合が多いです。ここで出てきた円の場合は補って考えるという求め方が示されているので「どうしてこれだけが違うやり方なのか」と思ってしまいます。どちらでもできるのです。

お礼

四角形の重心は大丈夫です。
そこまで解説していただき、ありがとうございます。

円の方で、面積2と1に分けるのはそうするのですね...
思いつきませんでした。
こんな分け方があったのかぁ

何から何まで丁寧に解説していただき、ありがとうございました。
これで(円の)重心は点数を落とさずにすみそうです。

回答No.3

Meowth

途中から大きいほうの半径をｒと
思ってしまいました。すみません。

小円の部分は重心はその中心O'｛＝Oからｒ｝←--rに訂正
そこにMが集中しているとしてよい　　　　　←--Mに訂正
三日月型の重心をOからO’と反対側にLのところとする。
そこに質量3Mが集中しているとしてよい。
結局、
小円と三日月型をあわせた重心がOにくるようにすればよい。
3M×L -M×r=0(中心O)　　　　　　　　　　←--rに訂正
L=r/3　　　　　　　　　　←--r/3に訂正

お礼

わざわざ訂正していただき、ありがとうございました！

回答No.2

Meowth

全体の円の面積は４πr＾2
切り抜いた小円の面積はπr＾2
三日月型の面積は、４πr＾2ーπr＾2＝３πr＾2
面密度一定として、、
小円の質量を　　　　　Mとすると、
全体の円の質量は　　4M
三日月型の質量は　　3M
となる。
OO'を通る直線を考えると、重心はこの直線上にある。

切り抜く前の重心はO　質量は4M
小円の部分は重心はその中心O'｛＝Oからr/2｝
そこに3Mが集中しているとしてよい
三日月型の重心をOからOと反対側にLのところとする。
そこに質量3Mが集中しているとしてよい。
結局、
小円と三日月型をあわせた重心がOにくるようにすればよい。
3M×L -M×r/2=0(中心O)
L=r/6
中心Oから、O'と反対側にr/6のところ。

お礼

回答ありがとうございます。
回答No,1さんの(2)のやり方ですよね。
なるほど、こう考えるのですか！

わかりやすい説明ありがとうございました。

補足

>小円の部分は重心はその中心O'｛＝Oからr/2｝ ←ココ
>そこに3Mが集中しているとしてよい
>三日月型の重心をOからOと反対側にLのところとする。
>そこに質量3Mが集中しているとしてよい。
>結局、
>小円と三日月型をあわせた重心がOにくるようにすればよい。
>3M×L -M×r/2=0(中心O)　　←ココ
>L=r/6

この部分なのですが、r/2ではなくrで、答えはL=r/3ですよね...
不安なので、もう一度回答お願いできないでしょうか。

回答No.1

htms42

ヒントを出します。
円Ｏの面積は円Ｏ’の面積の４倍です。
円Ｏ’を切り抜いた図形（Ｘとします）の面積は円Ｏ’の図形の面積の３倍になります。
正方形から１／４の面積の正方形を切り取ったときの残りの図形の重心を求めるのと同じやり方になります。
やり方は２つ考えられます。
（１）面積３の図形をさらに分割して考える。
　　（面積１の図形と、面積２の図形に分ける。）
（２）面積１の図形と面積３の図形を合わせると面積４の図形になる。
　　（面積１の図形と面積４の図形の重心の位置ははわかっている。）

お礼

早速の回答ありがとうございます。
(1)は、縦で切って、またそれぞれの重心をだして2:1の比をとるという方法しか思いつかないのですが、何か良い方法があるのでしょうか？
それぞれの重心といっても、面積1の方は重心の出し方もわかりません...
分かりが鈍くて申し訳ありません。
これは暇な時でもいいので、回答よろしくお願いいたします。