重心の問題

質問

Ｏを中心とする半径Ｒの円板から図のようにＯからｒだけ離れたＡを中心として半径ｒの円板をくりぬいた
重心の位置はどこか

くりぬかれた部分を上にあがるモーメントと考えて、
新たな重心ＧとＯの距離をｘとすると
ｘＲ＾２＝（ｘ＋ｒ）ｒ＾２
となるらしいのですがこれは何故ですか？

回答No.5

Quarks · ベストアンサー

>mgの腕の流さは(x+r)cosθでモーメントの釣り合いを考えたときcosθで
>割れば質問の式になるということで合ってますか？

そのとおりです。
つまり、モーメントの釣り合いには、角度θは影響しないのです。
Ａ点がどこに有ろうとも、重心を回転軸とした、重力によるモーメントの和＝０　という条件を定式化すると、式の整理段階で角度θは消えてしまうわけです。

>ただ、図だとA、O、Gが一直線上になってるのですがAが別の位置に移動したら
>Gも一直線になるように移動するとして、何故一直線だと言えるのでしょうか？

以下の回答を読む前に、重心とはどのような点なのかを、もう一度、自問してみて下さい。

その位置で物体を支えると、物体は傾いたりせずにそのまま静止状態を保つことができる点が重心です。重心とはそのような点なのです。では、問題の図形を、或る一点で支えたとき、物体が傾いたりしないためには、その点はどんな所（範囲）に有るでしょうか？図形をじっくり見て考えてみて下さい。想像できたら、以下の解説を読んで下さい。

図を見るとおわかりのように、物体は、直線ＡＯＧを対称軸として、線対称になっています。
物体を、水平にピンと張った糸の上に、その対称軸が糸に重なるように置いたならば、そのまま釣り合っていることは容易に想像できるでしょう。糸に対して"左右対称"なのですから、どちらかに傾く理由が無いのです。
このことは、重心が糸の上に載っていることを意味しています。
物体に対称軸があれば、重心は、その対称軸上のどこかに有るのです。

お礼

全てわかりました
長い間ありがとうございました

回答No.4

Quarks

>No.1の図で上方向にずらした場合など
>くりぬくのはどこでもいいですから、例えば元の円盤の重力の作用線上に点Aが
>あってもいいということになります
>そこからくりぬいて重力の方向にずらしたら作用線が一致することになります

力のモーメントの評価は変わりません。
くり抜いた部分の中心Ａが、問題文での位置から、鉛直方向にいくらかズレている場合でも、同一作用線上の移動に過ぎませんから、ｗ＝ｍｇの、Ｇ点回りのモーメントは
　ｍｇ・（ｘ＋ｒ）で　右回りです。

でも、Ａの位置が変われば、重心位置もまたズレてきます。添付図のＧ点が重心ではなくなるということです。
ややこしいですが、ANo.1に描いた点Ｇの回りのモーメントは、Ａの位置が鉛直方向に上下しても、
　ｍｇ・（ｘ＋ｒ）で　右回り
です。

しかし、Ａをズラしたら、ANo.1の添付図のＧ点は"重心ではなくなります"。

問題図で、重心は、直線ＯＡ上に有るのですから、Ａの位置が変われば重心位置も変わるのが当然です。その時は、新しいＡ点とＯ点とを結ぶ直線上に、Ｏ点からｘ離れた地点を重心位置として再設定して、計算するだけです。
念のために、その設定を添付図に示しましたので、検討して下さい。この場合でも
　ｘ・R^2＝（ｘ＋ｒ）・ｒ^2
が成り立っていますよ。練習問題として、解いて見て下さい。考え方は、ANo.1で示したのとほとんど同じです。注意点は、腕の長さを正確に評価することです。
Ｍｇやｍｇの「腕の長さ」はｘ，（ｘ＋ｒ）とは違う値になりますよ。

Ｍｇの腕の長さ＝ＧＢ＝ｘ・cosθ
　Ｍｇによる、Ｇ点のまわりのモーメント＝Ｍｇ・ｘ・cosθ　で左回り

ｍｇの腕の長さ＝…

お礼

わかりました ありがとうございました
ただ、図だとA、O、Gが一直線上になってるのですが、仮にAが別の位置に移動したらGも一直線になるように移動するとして、何故一直線だと言えるのでしょうか？

補足

mgの腕の流さは(x+r)cosθでモーメントの釣り合いを考えたときcosθを割れば質問の式になるということで合ってますか？

回答No.3

Quarks

ANO.2　です。

>ただ、これＧ2の位置がかわったら作用線がずれませんか

どのように変わる場合をお考えでしょうか？　いろいろな場合が想定されるので、これだけの漠然としたご質問では、お答えすることができません。もう少し、具体的に書いて下さい。

一般的な確認事項を書いておきます。
剛体（変形しない物体。今の場合、２つの円盤は剛体として想定されています）に作用する力は、その作用線上で平行移動しても、その移動による影響はありません。
言い換えると、剛体に作用する力は、その作用線上でならば、どのように平行移動しても構わないのです。

補足

No.1の図で上方向にずらした場合などです
くりぬくのはどこでもいいですから、例えば元の円盤の重力の作用線上に点Aがあってもいいということになります
そこからくりぬいて重力の方向にずらしたら作用線が一致することになります

回答No.2

Quarks

>>この"重力"による、Ｇ（求めるべき重心）の回りのモーメントは
>>ｍｇ・(ｘ＋ｒ)で、　右回りです。
>
>力はｍｇだと思いますが、距離がｘ＋ｒなのは何故でしょうか？

　力のモーメントの大きさ＝力の大きさ・腕の長さ

ここで、「腕の長さ」とは、"回転軸から、力の作用線に下した垂線の長さ"
です。
つまり、先の添付図で、回転軸（Ｇ点がそれです）から、ｗ＝ｍｇ　の矢印を通る直線（図では、ｗ＝ｍｇを通る点線で示してありますが、これがｗの作用線です）までの距離ですから
　腕の長さ＝ｘ＋ｒ
ですね。

補足

ありがとうございます
ただ、これＧ2の位置がかわったら作用線がずれませんか？

回答No.1

Quarks

図を添付するのに横長の方が良いようなので、ちょっと見難いですが、右側が地球に近い方としてみて下さい。

小さな円盤(質量ｍ）の"重力"が上向きに掛かっていると想定すると、この"重力"による、Ｇ（求めるべき重心）の回りのモーメントは
ｍｇ・(ｘ＋ｒ)で、　右回りです。
一方、大きな円盤（質量M）の重力（こちらは下向き）による、Ｇ（求めるべき重心）の回りのモーメントは
Ｍｇ・ｘ　で左回りです。

モーメントの釣り合いから

ｍｇ・(ｘ＋ｒ)=Mg・ｘ　　式（１）
です。

ところで、大小２つの円盤の面密度（単位面積当たりの質量。これをｄとします。）は同じだと仮定されていますから
Ｍ＝ｄ・面積＝ｄ・π・Ｒ^2
ｍ＝ｄ・面積＝ｄ・π・ｒ^2
です。
これらの式を（１）に代入すると

ｄ・π・ｒ^2・ｇ・（ｘ＋ｒ）＝ｄ・π・Ｒ^2・ｇ・ｘ

整理すると

ｒ^2・（ｘ＋ｒ）＝Ｒ^2・ｘ

補足

＞この"重力"による、Ｇ（求めるべき重心）の回りのモーメントは
ｍｇ・(ｘ＋ｒ)で、　右回りです。

力はｍｇだと思いますが、距離がｘ＋ｒなのは何故でしょうか？