全ての誕生日

質問

確率の問題？で困っています

１年を３６５日とします

知り合いに声をかけて全ての日付の誕生日の方を
揃えようとしたら何人くらいの人に声をかける必要が
ありそうでしょうか？
また９０％の人数（３２９人）を揃えようとすれば
何人くらいに声をかける必要がありそうでしょうか？

という試験ではない仕事上での問題です

答えだけでなく、考え方なども教えてください

回答No.9

stomachman

３６５ページあるノートの１ページにひとつづつ、１月１日から１２月３１日までの日付を書いておき、n人の人に誕生日を尋ねて、その人の名前を該当するページに書き込んで貰います。

　まずは手抜きの方法を考えてみました。
　特定のページ（例えば１月１日のページ）にk人の名前が書かれる確率B(n,p,k)は幾らか。
c=1/365として
B(n,c,k)=nCk (c^k)(1-c)^(n-k)　　(nCkはn人の中からk人を選ぶ組み合わせの数(combination)です。）
だからk=0の場合の確率は
B(n,c,0) = (1-c)^n = (364/365)^n
です。どのページでも0人になる確率は同じだから、0人のページの数は 365((364/365)^n) 程度ある、ということになります。
　逆に、m通りの誕生日を集めようとすれば
365((364/365)^n) = 365-m
をnについて解いて
n = ln((365-m)/365) / ln(364/365)
から何人ぐらいに声を掛けることになるかが計算できます。m=329の場合、n=844.3
　じゃあm=365だったら、というと、ln((365-365)/365) = ln(0) は定義されません。なんでこうなるかって、何人集めようが白紙のページが生じる確率は0にはならないからです。
　しょうがねえから
m=365-0.5で計算しますと、n=2403.2
m=365-0.1で計算しますと、n=2989.8
m=365-0.01 にした場合は、n=3829.1
と出ます。これは「3829人に訊いても365通り全部が揃わないなんてことは100回に1度ぐらいしか起こらない」ってことですね。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

　んじゃ、まともに正確に確率分布を出してみるとどうなるか。
　こう考えてみました：試行１回につき、等確率で発生するN通りの事象がある。独立な試行をn回行った場合に丁度m通りの事象を見出す確率Q(n,m)は幾らか？
　リスクを割り出すには、n回やっても目標である(m+1)通りに届かない確率
P(n,m)=Σ{j=1～m}Q(n,j) (Σ{j=1～m}はj=1～j=mについての総和の意味です）
を知る必要があるでしょう。
　この問題では、「等確率で発生するN通りの事象」ってのは誕生日のことで、つまりN=３６５通りの事象がある。そして、n人に尋ねて高々m通り揃う確率をP(n,m)とする。

以下c=1/Nと略記します。n>0について
P(n,0)=0
m≧nのとき　　P(n,m)=1
n＞m＞0のとき P(n,m)=mc(P(n-1,m)-P(n-1,m-1))+P(n-1,m-1)
という漸化式は自明でしょう。ここで(P(n-1,m)-P(n-1,m-1))ってのは「(n-1)回試行したとき丁度m通りの事象を得る確率」ですね。
すると
P(n,1)=c^(n-1)
P(n,2)=(2^(n-1)-1)c^(n-2)-(2^(n-1)-2)c^(n-1)
と、ここまではカンタンですが、あとはちょっと手計算じゃ手に負えない。で、一般に
P(n,m) = Σ{j=1～m}V(n,m,j)c^(n-j)
という形になりますから、cの多項式の整数係数V(n,m,j)を求める漸化式が得られれば良しとしましょう。
V(n,1,1)=1
V(n,n,n)=1
j<nならばV(n,n,j)=0
です。さて、
P(n,m)=m(cP(n-1,m)-cP(n-1,m-1))+P(n-1,m-1)
=Σ{j=1～m}m(V(n-1,m,j)-V(n-1,m-1,j))c^(n-j)+Σ{j=2～m}V(n-1,m-1,j-1)c^(n-j)
だから
V(n,m,0)=0
と決めておきますと、
V(n,m,j)=m(V(n-1,m,j)-V(n-1,m-1,j))+V(n-1,m-1,j-1)
となります。V(n,m,j)をjを成分の添字とするベクトル
V(n,m,*)= V(n,m,1),V(n,m,2),…,V(n,m,m)
とみなして書いてみますと
V(3,2,*) = -1, 3
V(4,2,*) = -6, 7
V(4,3,*) = 6, -11, 6
V(5,2,*) = -14, 15
V(5,3,*) = 36,-60,25
V(5,4,*) = -24,50,-35,10
V(6,2,*) = -30, 31
V(6,3,*) = 150,-239,90
V(6,4,*) = -240,476,-300,65
V(6,5,*) = 120,-274,225,-85,15
V(7,2,*) = -62,63
V(7,3,*) = 540,-840,301
V(7,4,*) = -1560,3010,-1799,350
V(7,5,*) = 1800,-3990,3101,-1050,140
V(7,6,*) = -720,1764,-1624,735,-175,21
てな感じです。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

　なんだかもうちょっとこう、実用性のある計算方法はないもんでしょうかねえ。