指数の拡張？

質問

今大学で数学を学んでるんですが、今まで当然と思って使ってきた事実が意外にその証明がわからないということがありました。
それは、
正の実数ｓ、０＜ｘ＜ｙならば０＜ｘ＾ｓ＜ｙ＾ｓ
という命題です。
ｓが正整数、正の有理数のときは成り立つのはわかるんですが、無理数のときはどう証明すればいいのか分かりません。
これまで指数が無理数であるかどうかとかはあまり気にとめてなく、なんとなくでやっていましたが、気になってしょうがないです。

回答No.5

kabaokaba · ベストアンサー

#3のTacosanさんの方針で決まりだと思います．
順番としては
(0)有理数までに関しては定義も指数法則もOK
(1)無理数に対しても指数を定める
(2)指数法則の成立を示す
(3)関数 f(x)=x^s (s>0, x>0) の単調増加性を示す．
といったところでしょうか．
(3)は結局「x>1 のとき x^s>1」を示せばOKというのは
Tacosanさんのご指摘の通り．

「x>1 のとき x^s>1」については
sに下から収束する有理数列{sn}をとって
1<x^{s1}<x^{s2}<・・・<x^{sn}<・・・
であるので，1<x^sなのは明らか
＃有理数の場合の単調性は既知とします．

===========
いろいろな方法があるはずです．
例えば，一気に微分まで駆け上がって，
微分して導関数が正だからとするとか．
＃きちんと整理しないと，今度は
＃(x^s)'=sx^{s-1}の証明が微妙ですけどね．

こういうところに興味をもたれたのであれば
循環論法に陥らないように実数の定義から
各種の関数とかの構築を整理してみると面白いです．
要は自分用の実数論の初等的なテキストを作ってみるわけです．

回答No.4

mgsinx

＞x>1のとき
＞x^s=sup{x^r|rは有理数でr<=s}
x^rは単調増加なので、言い換えると
x^s=lim(r→s-0)(x^r)

＞0<x<1のとき
＞x^s=inf{x^r|rは有理数でr<=s}
x^rは単調減少なので、言い換えると
x^s=lim(r→s+0)(x^r)

といったところです。
supの方は、例えば3^(ルート2)の場合、
3^1.414213→3^1.4142135→3^1.41421356...
と続けていった場合に近づいていく値（左極限）、という風に解釈できます。
これは、関数3^(ルート2)が単調増加だからです。
infの場合は右極限と解釈できます。

結局無理数であっても虚数とは違い数直線上には存在する訳なので、連続関数x^sのsが無理数であっても関数の値は存在するということです。

この連続性を使った場合、x^sが正の実数xについて狭義単調増加であることを示せれば、目的の不等式が証明されたことになります。
狭義でないと等号が成立する場合があるので注意が必要です。
しかし、結局x^sが狭義単調増加であることを示すためには
x<yのときにx^s<y^sであることを示すことになります。
ということで、証明の順番としては
「x<yのときにx^s<y^s」→「x^sは実数sについて狭義単調増加関数」という順番だと思います。

回答No.3

Tacosan

こういうのって, どこまで使っていいかわからないと答えにくいよなぁ.
とりあえず
・有理数 q と実数 x > 0 に対し x^q > 0
・実数 x, y, s に対し y^s / x^s = (y/x)^s
が使えれば簡単です.
まず 0 < x^s の方は, 0 < q < s なる有理数 q が存在し x^s ≧ x^q > (x/2)^q であることからほぼ自明.
0 < x < y → x^s < y^s も 1 < (y/x)^s を示せばよいことになるので難しくないですね.

回答No.2

rinkun

無理数sに対してx^sをどう定義するかによりますね。
有理数の場合から連続性により拡張するなら、同じく連続性により不等号も保存されると思いますけど。
# 等号にならないことは別途証明が必要かな

補足

参考にしてる本によると、
任意の実数ｓについて
ｘ＞１のとき
ｘ＾ｓ＝sup｛ｘ＾ｒ｜ｒは有理数でｒ≦ｓ｝
０＜ｘ＜１のとき
ｘ＾ｓ＝inf｛ｘ＾ｒ｜ｒは有理数でｒ≦ｓ｝
と定義するそうです。

回答No.1

mgsinx

まず、0<x<y、0<sより、0<x^sと0<y^sが成り立つことは明らか。
0<x<yより、logx<logyも成立。
logx<logy
←→slogx<slogy
←→log(x^s)<log(y^s)
←→x^s<y^s

こんな感じでどうでしょうか。

お礼

この解答を見て、なるほど！っと思いました。
ありがとうございます！