べき乗微分の指数の拡張

質問

高校2年生です。
ひょっとしたら高校レベルではないかもしれませんが、少し気になったので質問します。

一般にべき乗微分は
(x^n)'=(x^n-1)
で表されます。ずっとnは自然数のときのみかと思っていましたが、どうもnは実数の範囲に拡張できるようなのです。
調べてみましたら、指数が負の整数のときについては積の微分公式を使用して証明できましたが、指数が分数のときが、なぜそうなるのか理解できません。
どなたか高校生でも分かるように説明していただけないでしょうか。

またこれは関係ないのですが、反比例の式を原点から定積分するとどうなるのでしょうか。
反比例の式は最大値がありませんが、面積(定積分)はどうなるのでしょうか。

回答No.3

noname#165208 · ベストアンサー

>指数が分数のときが、なぜそうなるのか理解できません。

合成関数の微分の式

f (g ( x )) ' = f ' (g ( x )) g' (x)

を知ってますかあ？

これを使って恒等式

( x^{ p /q } )^ q = x^p

を微分してみるとわかるよ。

※ 左辺の微分は

q ( x^{ p /q } )^{q-1} (x^{ p /q })'

になります。

>反比例の式を原点から定積分すると

y = 1/x の不定積分 y = log | x |

を使えばいいのでは？
答えは ∞ （無限大）になります。 ∞ は数じゃないです。
記号です。上限がないってことを言ってるだけですよ。

お礼

おお！合成関数は知らなかったのですが、教えてくださった式を使って計算していったら(x^{p/q})'=(p/q)x^({p-q}/q)になりました！！
これでスッキリしました。ありがとうございました。

回答No.5

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

>反比例の式を…

広義積分と呼ばれるもので、大学の範囲です。
興味があったら調べてみてください。

お礼

数学は好きなので調べてみようと思います。
何回も回答してくださり、ありがとうございました！

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ちなみに、xのn乗根の微分は逆関数を使ってdx/dy＝1/(dy/dx)を使えばできます。

数IIIの内容です。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ちなみに、実数に拡張する場合は実数の定義にしたがって指数部分に足していくだけなんで、積の公式使ってできますね。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

xのn乗根の微分ができるなら、合成関数の微分でできます。

お礼

回答ありがとうございます。
合成関数はまだ習ってないので、申し訳ありませんが分かりません（汗）

あと、質問文に間違いがありました。
(x^n)'=(x^n-1)ではなく、(x^n)'=(nx^n-1)でした。
申し訳ありません。