- ベストアンサー
積分について
積分について ∫(0から∞)exp[-x]x^(-1/2)dx=√(π) となることを証明してください。 xのべき乗が正の整数だったら分るんですが、負のべき乗は分りません。 分りやすい解説をお願いします。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
y = √x で置換積分して、 あとは、「ガウス積分」について本を読む。
その他の回答 (1)
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
∫[0→∞] exp(-x)/√x dx =2∫[0→∞] exp(-t^2) dt （t=√xで置換） I=∫[0→∞] exp(-t^2) dt とおく。 I^2 ={∫[0→∞] exp(-t^2) dt}^2 =∫[0→∞] exp(-x^2) dx ∫[0→∞] exp(-y^2) dy =∫[0→∞]∫[0→∞] exp{-(x^2+y^2)} dxdy =∫[0→∞]∫[0→π/2] exp(-r^2) r drdθ （直交座標系(x,y)を極座標系(r,θ)に変換） =π/4 ∴I=√π/2 従って、求める積分は √π となる。
関連するQ&A
- 積分の解き方
∫(x-1) * exp((1/2)*x^2 - x) dxの解き方を教えてください。 答えはexp((1/2)*x^2 - x)になるらしいんですが 自分で部分積分を使って解くと (x-1) * (1/(x-1)) * exp ((1/2)*x^2 - x) - ∫(1/(x-1)) * exp((1/2)*x^2 - x) dx =exp ((1/2)*x^2 - x) - ∫(1/(x-1)) * exp((1/2)*x^2 - x) dx となって -∫(1/(x-1)) * exp((1/2)*x^2 - x) dxが消えてくれません。 他の解き方じゃないとダメなんでしょうか？ それとも、そもそも部分積分の使い方が間違ってるんでしょうか？ アドバイスよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題でどうしてもうまくいかないところが・・・
ものすごくつまらないミスをしてそうなのですが全然わからないので質問させていただきます。 ∫[-∞～∞](x^2)*exp(-x^2)dx ある問題の途中式にこの積分が出てきました。 私が普通にコレを（そのまま、積分、微分、積分のやつで） 部分積分をしたら [(-x/2)*exp(-x^2)][-∞～∞] + ∫[-∞～∞]exp(-x^2)dx となり、左側は０、右側はガウス積分を用いて√π つまり結果は√π となったのですが、 解答を見ると、左側は良いのですが、どうも右側が + 1/2{∫[-∞～∞]exp(-x^2)dx} となるらしく、係数1/2がついていました。 この1/2はいったいどこから来たのかが全然わからなくて 悩んでいます。 解答が間違っているのでは・・・と思ったんですが 別の問題でも、まったく同じ積分が出てきたときに 同様に係数1/2がついてたので、その考えは、自分の中で一度却下しました。 言葉足らずで申し訳ありませんが、どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この積分が解けません
先日、この積分（↓）を質問したものです。 ∫{0→+∞}{exp(-x^2)/x}dx 今回は少しだけ形が違います。x^2の前にα（αは定数）がついたら答えはどうなるのでしょうか？ ∫{0→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx 初歩的なことかもしれませんが、どなたか教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガウス積分の仕方(証明)
ガウス積分の問題で行き詰まってしまいました。 ∞ ∫ x*exp[-a*x^2] dx=1/(2*a) 0 となると思うのですが、これの証明の仕方がわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。