学校のグラフィックスの授業で

質問

Ｐ1＝（１，2）を始点、　Ｐ２＝（３，４）を終点とする線分の方程式を
（0≦ｔ≦1）の条件で、パラメトリック表示で表すのは、
直線の式を使って（2,3）＝（１-ｘ、1-ｙ）+（3-ｘ、4-ｙ）ｔでいいはずなのですが、ｘ、ｙと置いた任意の点は、図の中ではどの点でもいいのですか？

回答No.6

info22

#1,#4です。
＞線分の方程式はｙ＝ｆ（ｘ）のことですね。　
＞始点と終点のある直線の方程式と言う言葉使い何ですか？　
＞要はベクトルを使うということですか？

直線の方程式と線分の方程式の区別をよく理解されていないようですね。

またベクトルと直線の方程式、線分の方程式の関係もよく理解されていないみたいですね。

y=a*x+bは直線の方程式です。
y=a*x+b (0≦x≦1)は線分の方程式です。
xの取りうる範囲またはyの取りうる範囲が開区間(-∞,∞)であるときは直線、
yの範xの取りうる範囲またはyの取りうる範囲が(p,q)(ただしp<q)のような範囲が限定された閉区間であるときは線分
ということです。

＞(x,y)=(1,2)+t(3-1,4-2)(0≦t≦1)
この表現は、
始点を(1,2）,終点を(3,4)とするベクトルの表現であると同時に、
x=1+t(3-1)=1+2t …(1)
y=2+t(4-2)=2+2t …(2)
(0≦t≦1) …(3)
と書けますから
線分のパラメトリック表示（媒介変数表示）でもあります。

(3)の条件がなければ直線のパラメトリック表示（媒介変数表示）になります。

(1)と(2)からtを消去して
(2)-(1)から　y-x=1
∴ y=x+1　…(4)
(1)と(3)から　0≦2t=x-1≦2
∴ 1≦x≦3　…(5)

(4)の方程式には(5)の条件がつきますので線分の方程式になります。
t=0に対応するP(x,y)=(1,2)が線分の端点（始点）で
t=1に対応するQ(x,y)=(3,4)が線分のもう一方の端点（終点）
になります。
また、ベクトル(OR→)=(x,y)=(OP→)+t(PQ→)=(1,2)+t(2,2)　（0≦t≦1)
における座標R(x,y)は線分PQ上の点でありますね。（点Oは原点(0,0)です。）

お礼

知識として参考にしたいと思います。

回答No.5

fuuraibou0

直交座標において、一組の数 (ｘ, ｙ) は点の座標（coordinates）を
表し、その点を Ｐ とすると，Ｐ の座標が ｘ, ｙ であることを表し，
通常は，Ｐ(ｘ, ｙ) と表示しますが，(ｘ, ｙ) をベクトルと見なした
場合，(ｘ, ｙ) は原点（origin）を始点とする位置ベクトルで，２つ
の成分 ｘ, ｙ によって表される量と云うことでもあります。また，

ＡＮｏ.１ さんが仰るように ｔ で ｘ, ｙ を制限する場合，始点を
Ａ(ｘ1, ｙ2) , 終点を Ｂ(ｘ2, ｙ2) としたとき，ベクトル ＡＢ は，
始点を原点 ０ とするベクトル ＯＡ, ＯＢ に分解する事ができます。

お礼

ありがとうございました。

補足

ベクトル（x,y）はtによって変わるということですか？

回答No.4

info22

#1です。
ベクトル（x,y）は原点を始点とするベクトルですか？
原点を始点とするベクトルであることも、そうでない場合もあります。

(x,y)=t(5,3) (0≦t≦1)は
原点(0,0)を始点、終点を(5,3)とするベクトルです。

(x,y)=(1,2)+t(3-1,4-2)(0≦t≦1)は
始点(1,2)、終点を(3,4)とするベクトルです。

補足

線分の方程式はｙ＝ｆ（ｘ）のことですね。　始点と終点のある直線の方程式と言う言葉使い何ですか？　要はベクトルを使うということですか？

回答No.3

fuuraibou0

(ｘ, ｙ)＝(２ｔ＋１，２ｔ＋２)＝(２, ２)ｔ＋(１, ２) において，
始点と終点を結ぶ線を，ｔ の一次関数にとって，ｙ＝ｘ＋１ と
なる直線としているから，ｘ と ｙ は勝手な値をとることはでき
ません。変数 ｘ に対して，ｙ は ｙ＝ｘ＋１ を満足する値です。

補足

ベクトル（x,y）は原点を始点とするベクトルですか？

回答No.2

fuuraibou0

ｘ, ｙ を ｔ の一次関数に取って，
(ｘ, ｙ)＝(ａｔ＋Ａ，ｂｔ＋Ｂ) とおくと，

０≦ｔ≦１ より，
ｔ＝０ のとき，(ｘ, ｙ)＝(１, ２)＝(０＋Ａ, ０＋Ｂ)
∴　Ａ＝１，Ｂ＝２
ｔ＝１ のとき，(ｘ, ｙ)＝(３, ４)＝(ａ＋１, ｂ＋２)
∴　ａ＝２，ｂ＝２

よって、ＡＮｏ.１ さんが仰るように，
(ｘ, ｙ)＝(２ｔ＋１，２ｔ＋２)＝(２, ２)ｔ＋(１, ２) になり，

ｔ は，(０≦ｔ≦１) において，どんな値をとってもよく，
この限りにおいて，１≦ｘ≦３，２≦ｙ≦４ になります。

回答No.1

info22

＞（2,3）＝（１-ｘ、1-ｙ）+（3-ｘ、4-ｙ）ｔでいいはず
この式合っていますか？
t=0で始点(x,y)=(1,2),t=1で終点(x,y)=(3,4)になりませんよ。

(x,y)=(1,2)+(2,2)t
となりませんか？
tを0～1まで変化させた点(x,y)をx-y座標のグラフに描いて見て下さい。

＞図の中ではどの点でもいいのですか？
図がないので分かりません。