極限

質問

ｘ→－∞のときの　ｘe^x の極限の出し方を教えてください。
そのまま代入すると　－∞*０　で不定形になってしまいますよね？
変形の仕方を教えてください。

回答No.9

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。極限値を求めるときには感覚が重要です。
本問では x が非常に大きいときに、 e^x は x に比べてはるかに大きい
と言う事が分かることが大事です。

[解答]
(1) -x=t とおくと、t→∞ の時、－t/e^t を求める事と同値。・・[0]

(2) e^t を t の２次式で評価したい（下から押さえると言う事）。
　グラフを描いてみて見当をつけて、(1/10)t^2 としてみる。
　　t＞0 の時、
　　f(t)= e^t-(1/10)t^2 とおくと、
　　f(0)= 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・[1]
　　f’(t)= e^t-(1/5)t,
　　f’(0)= 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・[2]
　　f’’(t)= e^t-1/5 ＞1-1/5＞ 0　　　　　　　　　　　・・・[3]
　　[2][3]より、f’(t)＞0　　　　　　　　　　　　　　　・・・[4]
　　[1][4]より、f(t)＞0
　　すなわち、e^t＞(1/10)t^2　　　　　　　　　　　　　 ・・・[5]
　　が成り立つ。

(3)　[5]を使って与式を評価する。
　　e^t＞(1/10)t^2＞0 より、
　　0＜1/e^t＜10/t^2
　　両辺にt＞0を掛けて、
　　0＜t/e^t＜10/t →0 (t→∞)
　∴はさみうちの原理により、t/e^t→0
　　従ってt→∞ の時、－t/e^t→0 [0]が示された。

ポイント：(2) において、評価するための関数を自分で見付けるのが
極限の醍醐味です。そのために日頃から色々な関数に触れておくことが
必要になるわけです。マクローリン展開やロピタルの定理も知っておい
た方が良いでしょう。

回答No.8

info22

#1,#4,#5です。
マクローリン展開は展開の名前だけで実際は
e^x=a0+a1x+a2(x^2)+a3(x^3)+a4(x^4)+…
と展開できるとして、係数を決定すれば展開式が見つかります。
e^xは何回微分しても同じ関数です。
右辺の係数は
a0=e^0=1
a1=(e^x)'|x=0 =e^0=1
2!a2=(e^x)"|x=0 =e^0=1→a2=1/2!=1/2
3!a3=(e^x)'''|x=0 =e^0=1→a3=1/3!=1/6
…
n!an=e^0=1→an=1/n!
と展開係数が求まります。
これが名前を知らなくても微分ができれば展開できます。
でも本質は x＞0で
e^x＞(x^2)/2　となる関数「x^2/2」を見つけることです。
別に必ずしも「(x^2)/2」である必要はないです。
「(x^2)/3」でも「(x^3)/6」でもいいわけです。
A#4で「(x^2)/3」でも「(x^3)/6」でもいいですから確かめてみてください。
ただ
e^x=1+x+(x^2)/2 +(x^3)/6+ …
という式をたまたま知っている人は
e^x＞(x^2)/2＞0 (x＞0)
がすぐ思いつくわけです。
知らない人はなかなか気が付かない、つまり問題が解けないことに通じるわけです。必ずしもマクローリン展開式を知らなくても
「(x^2)/2」や「(x^2)/3」や「(x^3)/6」が見つけられる人は
はさみうち法で極限値が解けてしまうわけです。
数学は多くの問題を解き定石を覚えることで、色々な問題が解けるようになります。できる人とできない人は紙一重です。定石を知っているか、過去に同様な問題を解いたことがあるかです。
今回の問題なら
「(x^2)/2」や「(x^2)/3」や「(x^3)/6」
をどこからか持ってくれば言いということです。
（突然思いついたでも構わないです。でもそれで解ければそれが定石になって行きます。）

マクローリン展開は知っていることで役立ちますが、しらなくても
(x^2)/2などの関数が見つけられるならそれで問題が解けるのです。

とういことでマクローリン展開は後から取ってつけたこじつけ（思いついた根拠）ともいえるでしょう。

そういうわけでマクローリン展開が覚えておけば役立ちますし、覚えていなくてもひらめきの優れた人は知らなくても問題は解けるでしょう。数学は解法は一通りしかないということはありません。

お分かりになりましたか？　説明が役立ちましたでしょうか？

お礼

丁寧に説明していただいてどうもありがとうございました。。
こういうふうに数学を考えた事がなかったのでとても役に立ちました。
ありがとうございました。

回答No.7

koko_u_

>増減表でわかるというのは、微分して傾きをだして
>傾きがe^xの方が大きいということからわかるってことで合ってますか？？
あってるかもしれないし、間違ってるかもしれない。

まずは自分で手を動かして、不等式を変形してみるなり、実際に増減表を書いてみるなりして欲しい。

お礼

わかりました。どうもありがとうございました！

回答No.6

koko_u_

横槍でスマン。

>マクローリン展開式というのはふつうの高校生でもわかることなんですか？？
わかるはずだけど、e^x > (x^2)/2 を示すだけなら、増減表を書けばすぐわかります。
しかしイキナリ e^x > (x^2)/2 と書くと唐突なので、それがマクローリン展開に由来するものであることを補足しているわけですね。

補足

増減表でわかるというのは、微分して傾きをだして傾きがe^xの方が大きいということからわかるってことで合ってますか？？

回答No.5

info22

#1,#4です。
補足の質問について
＞３、４行目の変形はなぜこうなるのかおしえていただけませんか？？

＞　x＞0で
＞　e^x=1+x+(x^2)/2 +(x^3)/6+…　←(A)
＞　＞(x^2)/2　　　　　　　　　　←(B)
＞　＞0　　　　　　　　　　　　　←(C)
のどこが分からないですか？
(A)の無限項の和の展開式は|x|＜∞（実数の範囲）で収束する有名なマクローリン展開式です。
右辺の全ての項はx＞0でが正になりますので(B)でその2次の一項だけを取り出したら小さくなりますね。

お分かりになりませんか？
正の項ばかりの和から一項だけ取り出せが全体より小さくなりませんか？

補足

わからないのは(A)です。
マクローリン展開式というのはふつうの高校生でもわかることなんですか？？

回答No.4

info22

#1です。
＞ロピタルの定理を使わないやり方はありますか？？
x＞0で
e^x=1+x+(x^2)/2 +(x^3)/6+…＞(x^2)/2＞0
逆数をとって
0＜e^(-x)＜2/x^2
x＞0をかけて
0＜xe^(-x)＜2/x
0＜|xe^(-x)|＜|2/x|
0≦lim [x→∞] |-xe^(-x)|≦lim [x→∞] 2/|x|=0
lim [x→∞] |-xe^(-x)|=lim [x→-∞] |xe^x| (-xをxと置換）
であるから
0≦lim [x→-∞] |xe^x|≦0
したがって
lim [x→-∞] |xe^x|=0
∴lim [x→-∞] xe^x=0

補足

すいません。
３、４行目の変形はなぜこうなるのかおしえていただけませんか？？

回答No.3

koko_u_

>もうすこし詳しく教えていただけませんか？？
単純に挟み打ちの原理を使いなさいという意味です。

補足

すいません。　１行目の変形のイミがわからないんです。

回答No.2

koko_u_

普通に e^x > 1 + x + x^2/2 (x > 0) などを使って xe^(-x) を評価するのです。

補足

すいません。
もうすこし詳しく教えていただけませんか？？

回答No.1

info22

x e^x=x/e^(-x)　（-∞/∞型で分子・分母微分）
→1/{-e^(-x)}(x→-∞) （ロピタルの定理適用）
=-1/e^(-x)→0 (x→-∞)　（定数/∞型で0に収束）

補足

ロピタルの定理を使わないやり方はありますか？？