極限

質問

ｘ→－∞のときの　ｘe^x の極限の出し方を教えてください。
そのまま代入すると　－∞*０　で不定形になってしまいますよね？
変形の仕方を教えてください。

回答No.9

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。極限値を求めるときには感覚が重要です。
本問では x が非常に大きいときに、 e^x は x に比べてはるかに大きい
と言う事が分かることが大事です。

[解答]
(1) -x=t とおくと、t→∞ の時、－t/e^t を求める事と同値。・・[0]

(2) e^t を t の２次式で評価したい（下から押さえると言う事）。
　グラフを描いてみて見当をつけて、(1/10)t^2 としてみる。
　　t＞0 の時、
　　f(t)= e^t-(1/10)t^2 とおくと、
　　f(0)= 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・[1]
　　f’(t)= e^t-(1/5)t,
　　f’(0)= 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・[2]
　　f’’(t)= e^t-1/5 ＞1-1/5＞ 0　　　　　　　　　　　・・・[3]
　　[2][3]より、f’(t)＞0　　　　　　　　　　　　　　　・・・[4]
　　[1][4]より、f(t)＞0
　　すなわち、e^t＞(1/10)t^2　　　　　　　　　　　　　 ・・・[5]
　　が成り立つ。

(3)　[5]を使って与式を評価する。
　　e^t＞(1/10)t^2＞0 より、
　　0＜1/e^t＜10/t^2
　　両辺にt＞0を掛けて、
　　0＜t/e^t＜10/t →0 (t→∞)
　∴はさみうちの原理により、t/e^t→0
　　従ってt→∞ の時、－t/e^t→0 [0]が示された。

ポイント：(2) において、評価するための関数を自分で見付けるのが
極限の醍醐味です。そのために日頃から色々な関数に触れておくことが
必要になるわけです。マクローリン展開やロピタルの定理も知っておい
た方が良いでしょう。