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極限
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#1,#4,#5です。 マクローリン展開は展開の名前だけで実際は e^x=a0+a1x+a2(x^2)+a3(x^3)+a4(x^4)+… と展開できるとして、係数を決定すれば展開式が見つかります。 e^xは何回微分しても同じ関数です。 右辺の係数は a0=e^0=1 a1=(e^x)'|x=0 =e^0=1 2!a2=(e^x)"|x=0 =e^0=1→a2=1/2!=1/2 3!a3=(e^x)'''|x=0 =e^0=1→a3=1/3!=1/6 … n!an=e^0=1→an=1/n! と展開係数が求まります。 これが名前を知らなくても微分ができれば展開できます。 でも本質は x＞0で e^x＞(x^2)/2 となる関数「x^2/2」を見つけることです。 別に必ずしも「(x^2)/2」である必要はないです。 「(x^2)/3」でも「(x^3)/6」でもいいわけです。 A#4で「(x^2)/3」でも「(x^3)/6」でもいいですから確かめてみてください。 ただ e^x=1+x+(x^2)/2 +(x^3)/6+ … という式をたまたま知っている人は e^x＞(x^2)/2＞0 (x＞0) がすぐ思いつくわけです。 知らない人はなかなか気が付かない、つまり問題が解けないことに通じるわけです。必ずしもマクローリン展開式を知らなくても 「(x^2)/2」や「(x^2)/3」や「(x^3)/6」が見つけられる人は はさみうち法で極限値が解けてしまうわけです。 数学は多くの問題を解き定石を覚えることで、色々な問題が解けるようになります。できる人とできない人は紙一重です。定石を知っているか、過去に同様な問題を解いたことがあるかです。 今回の問題なら 「(x^2)/2」や「(x^2)/3」や「(x^3)/6」 をどこからか持ってくれば言いということです。 （突然思いついたでも構わないです。でもそれで解ければそれが定石になって行きます。） マクローリン展開は知っていることで役立ちますが、しらなくても (x^2)/2などの関数が見つけられるならそれで問題が解けるのです。 とういことでマクローリン展開は後から取ってつけたこじつけ（思いついた根拠）ともいえるでしょう。 そういうわけでマクローリン展開が覚えておけば役立ちますし、覚えていなくてもひらめきの優れた人は知らなくても問題は解けるでしょう。数学は解法は一通りしかないということはありません。 お分かりになりましたか？ 説明が役立ちましたでしょうか？
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