高校数学の位置ベクトル

質問

証明問題なのですが、昨日から考えても導き出せないのでお力を貸してください。
２点A,Pの点Oに関する位置ベクトルを、それぞれa→,b→とする。次の事を証明せよ
直線OAに関してPと対称な点をR（ｒ→）とすると、
ｒ＝(２p・a/|a||a|)aーp　（ベクトルの入力がわからないので、省略します）
わかりにくい書き方ですが、分母は絶対値aの二乗です。
よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

PR の中点 Q(q) を考えればわかりやすいかなぁ.
Q は OA上にあるので q = ka と書けます. 一方 PQ⊥OA なので (q-p)・a = 0 です.
この 2式から k を求めれば, Q の位置ベクトルが p と a で書けます.
あとは q = (p+r)/2 から.

補足

こんなに早くに回答いただけてありがとうございます。私の理解力不足なのですが、中点QがなぜPQ⊥OA になるのでしょうか。線分OAの垂線で点Pを通る線は線分OAを二等分するのでしょうか。中学レベルのことをお聞きしますが、回答をお願いします。

回答No.5

kkkk2222

＃４です。訂正です

式全体の|p+q|は、すべて　|ｐ＋ｒ|　です。

回答No.4

kkkk2222

なんだか上手くいかないので、多分いろんな解き方があるのでは・・・。
(1)(2)(3)の条件で、
あとは、機械的な変形なので、
(1)(2)(3)の成立を良く吟味して下さい。
問題文を見ると、そんなに難しそうには見えないのですが、
意外に扱い難くて消化不良です。

また、θを登場させないと上手く説明できません。
ＰＲの中点をＭとして、
∠ＰＯＭ＝∠ＲＯＭ＝θ　として、
図では、見易い様に、ＰとＲの位置を逆に描きます。
　　　　　Ｐ・・・・・・・・・・・・・・・・・Ｏ’
　　　　・　　・　　　　　　　　　・　・
　　　・　　　　　・　　　　・　　　・
　　・　　　　　　・　Ｍ　　　　 ・
　・　　　・　　　　　　　　・　・
Ｏ・・・・・・・・・・・・・・・・・Ｒ
図は、＜ひし形＞である事に注目して下さい。

(1)a/|a|=(p+r)/|p+q|
(2)cosθ=a・p/|a||p|
(3)|p|cosθ=|p+q|/2

(1)　の意味は、両辺がのベクトルが、ＯＯ’上にあり、
　　　両辺共に、単位ベクトルである事から成立します。
(2)　は内積の定義’で、良く見る式です。
(3)　は∠ＰＭＯ＝９０度より、
　　　図形的意味、（ＯＰのＯＯ’への正射影）により、
　　　左辺＝|p|cosθ＝ＯＭ、
　　　また、右辺＝|p+q|/2＝ＯＯ’/2＝ＯＭ。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(1)を変形して、(11) (|p+q|/|a|)a=(p+r)
(3)を変形して、(33) 2|p|cosθ=|p+q|
(2)の　cosθ　を　(33)に代入して、
　　　　　　　　2|p|(a・p)/|a||p|=|p+q|
左辺を約分して、
　　　　　　　　2(a・p)/|a|=|p+q|
最後に、|p+q|　を　(11)に代入して、
　　　　　　　　　　(2(a・p)/|a||a|)a=(p+r)

　　　r=(2(a・p)/|a||a|)a-p

回答No.3

Tacosan

え～と, 「直線OA に関して点 P と対称な点 R」ということから, PR⊥OA かつ P, R と直線 OA までの距離が等しいことがわかります. だから PR の中点 Q は OA上にあってかつ PQ⊥OA です. PQ と PR は同じものだってことに注意してください.
端的にいってしまうと, この問題の状況では 2次元平面で考えれば十分です. なので, 紙の上に図を描いて考えればほとんど明らかだったりします.

お礼

そうですよね、、、なんでこんなところでつまづいたんだろう。大変参考になりました。

回答No.2

ujitaka

点Pから直線OAに垂線を下ろし、その交点をQとします。△OPQは直角三角形です。ここで、長さを考えるとOQ＝(a・ｐ)／|a|　となります。
OQ→＝（(a・ｐ)／|a|）（（a→）／|a|）
PQ→＝OQ→－ｐ→＝（(a・ｐ)／|a|）（（a→）／|a|）－ｐ→
PR→＝２PR→＝２（(a・ｐ)／|a|）（（a→）／|a|）－２ｐ→
OR→＝ｐ→＋PR→＝２（(a・ｐ)／|a|）（（a→）／|a|）－ｐ→
となります。