4次正方行列の問題

質問

4次正方行列

A=　a_11　a_12　a_13　a_14
　　a_21　a_22　a_23　a_24
　　a_31　a_32　a_33　a_34
　　a_41　a_42　a_43　a_44

B=　1　0　0　0
　　0　1　k　0
　　0　0　1　0
　　0　0　0　1

について、|AB|=|A|である。その理由を述べよ。

この問題を解く方法としては、実際に|AB|の値と|A|の値を
手計算するしか浮かびませんでした。
でも、もっとスマートなやり方があるに違いないと考えています。
もしご存知ならば、お教え願えませんか？

回答No.5

ujitaka · ベストアンサー

e1＝(1,0,0,0)の転置行列、e2、e3、e4　も同様とします。
B＝(e1　e2　ke2＋e3　e4)と表せます。
AB＝(Ae1　Ae2　kAe2＋Ae3　Ae4)＝(Ae1　Ae2　kAe2　Ae4)＋(Ae1　Ae2　Ae3　Ae4)
｜AB｜＝｜Ae1　Ae2　kAe2　Ae4｜＋｜Ae1　Ae2　Ae3　Ae4｜
　　　＝k｜Ae1　Ae2　Ae2　Ae4｜＋｜Ae1　Ae2　Ae3　Ae4｜
ここで、最後の式の1番目の行列式は2列と3列が同じなので０になります。結局｜AB｜＝｜A｜となります。

お礼

大変細かく解説していただき、しっかりと理解することができました。
ご回答ありがとうございます。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の訂正です。

＞|AB|の２列目をk倍して３列目に加えれば
＞|A|にもどる。
|AB|の２列目を「-k倍」して３列目に加えれば
と訂正して下さい。

回答No.3

info22

AB=
Bは（Aの２列目をk倍して３列目に加えた行列）
に変換する行列ですから
|AB|の２列目をk倍して３列目に加えれば
|A|にもどる。
ただそれだけのことではないですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.2

joggingman

｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜　｜Ｂ｜
で
｜Ｂ｜＝１　上三角行列の行列式の値は、対角成分の積
だから、明らかです。

証明は教科書に載っているはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.1

koko_u_

そろそろ飽きてきた。
本当に |AB| と |A| を実際に計算しましたか？補足欄にどうぞ。

補足

「飽きてきた」の意味は、実際に計算してくださって、ということでしょうか。どうも有難う御座います。

まことに恐縮ですが、私は実際に計算をしていて、なんだかとてつもなく長い式になってきたので、これは違うなと感じて、このQ＆Aサイトに投稿させていただきました。