正方行列の逆行列と一般化逆行列の違い

質問

今まで，逆行列を考えるときには，対象となる行列は正方行列でした．
しかし，一般化逆行列というものがあって，対象とする行列は正方行列で
なくても良いみたいなのですが，そうすると，逆行列を考えるときには
正方行列であるという縛りはかからず，どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか？
また，正方行列の逆行列と一般化逆行列の違いは何でしょうか？
一般化逆行列ではどのように逆行列を求めるのでしょうか？
ネット上を調べましたが，詳しく分からなかったため質問させて頂きました．
御存知の方は，教えてください．

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

＞正方行列であるという縛りはかからず，どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか？

　いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

　　Ａx＝b

において、Ａがｎ×ｍで、ｎ＝ｍ かつ detＡ≠0 なら、Ａ^(-1)があるので、

　　x＝Ａ^(-1)・b　　　(1)

と解が決まります。しかし応用上は、ｎ＝ｍとは限らない時も、けっこうあります。そのような時でも、(1)の形に解が書けたら便利だよなぁ～、というのが、たぶん事の発端です。
　ｎ＞ｍとします。この場合 x の次元はｍで、bの次元はｎとなり、条件過多になります。
　このような場合、とんでもない幸運により、解 x が存在する時もありますが、存在しない時の方が普通です。しかし応用上は、なんらかの近似解は必要になります。そこで残差ノルム最小条件、

　　|b－Ａx|^2＝最小

をたいてい使います。これによって定まる x は一意です。具体的には、

　　Ａ^T・Ａx＝Ａ^T・b

と変形します（^Tは転置です）。Ａ^T・Ａ は、Ａのランクがｍならｍになり、det(Ａ^T・Ａ)≠0 です。従って、残差ノルム最小条件下での解は、

　　x＝(Ａ^T・Ａ)^(-1)・Ａ^T・b

となり、(Ａ^T・Ａ)^(-1)・Ａ^T は、ｎ＞ｍの時のＡの一般逆行列の一種です（#2さんの最小二乗型）。
　参考書ですが、#1さんの「伊理正夫，一般線形代数」は、厚くて高いけど良書です。私は、次の本を紹介します。

　線形代数―行列とその標準形 (シリーズ新しい応用の数学 16) (単行本)，伊理 正夫 (著), 韓 太舜 (著)

　この本は、「伊理正夫，一般線形代数」より（いくらか）薄くて安くて簡単です。一般逆行列について、系統的に書かれた本は、日本語ではこれくらいだろうと思います。

お礼

詳細な回答ありがとうございます。
疑問点は理解できました。
しかし，線形代数の基礎がまだ不十分だと感じたので，オススメされた
参考書を購入しようと思います。
まずは，「伊理正夫，一般線形代数」から・・・。

回答No.3

kumipapa

こちらもご参考まで
http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/GIM.PDF

回答No.2

arrysthmia

「一般化逆行列」？、普通「一般逆行列」と訳さないだろうか？
私のお薦めは、これ。
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/wshosea.cgi?W-ISBN=4130640704

行列Ａに対してＡＢＡ＝Ａが成立するようなＢを、Ａの一般逆行列と言う。
Ａがｎ行ｍ列の行列ならば、積ＡＢＡが定義できるように
Ｂはｍ行ｎ列でなければならない。

このようなＢは、任意のＡ（正方行列でなくても）に対して存在する。
それどころか、任意のＡに対して複数存在するので、どの一般逆行列の話だか
条件を付加して指定しなければわからない。よく話題に上るものに、
反射型一般逆行列、最小二乗型一般逆行列、ムーア・ペンローズ型一般逆行列
などがある。他にも様々ある。それぞれの定義は、上掲の参考書を参照されたい。

Ａが正方行列で、しかも正則（逆行列が存在する）な場合には、
逆行列が唯一の一般逆行列となる。

回答No.1

grothendieck

ここで質問する前に参考書を調べ、疑問点を絞って頂きたいです。

参考書
　伊理正夫「一般線形代数」　（岩波書店）

お礼

参考書を参考にさせていただきます。