- ベストアンサー
クロネッカー積の固有値と逆行列について
タイトルどおり、クロネッカー積の固有値と逆行列について教えてください。 A=N*N正方行列、B=M*M正方行列のクロネッカ積C=A*Bの固有値と逆行列について解説されているサイトや文献がありましたら教えてもらえませんか。 ちなみに線形代数は学部1年で習う程度しか知りません。またN=M=2の場合は確認したのですが、一般的なものが知りたいので、よろしくお願いいたします。 クロネッカー積の基本は http://www.aichi-gakuin.ac.jp/~chino/anova/chapter1/sec1-4-7.html に書いています。
- nadja
- お礼率40% (6/15)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
クロネッカー積の固有値や逆行列の基本的な性質については、重要ですので、覚えておいて下さい。下記参考URL（pdfファイル）にもあるように、証明は簡単です。下記URLの固有ベクトルxi×yjの意味は分かりますよね。これは、xiとyjのKronecker積です。
関連するQ&A
- ある行列とその転置行列の積の逆行列は？
今エクセルで行列を使って問題を解いています。 問題は 行列X、A、Yがあり、Xは1行4列、Aは1行2列、Yは1行4列です。 X・A＝Y という式があり、Aの行列は未知数a,bの要素からなっています。 X,Yはそれぞれ数値として要素が決まっています。 ここからはヒントとして表示されていました。 そこでXの逆行列を両辺の左からかけるとAは求まるはずですが、 Xは正方行列ではないので、Xの転置行列を左からかけます。 X（T)・Xは正方行列になるのでこれを行列Pとおくと Pの逆行列を求められ、右辺にP＾-1をかけるとAが求まる。 というものです。 エクセルで書かれている通りにやってみて、エラーになるので調べてみると、XとXの転置行列の積の行列式は要素にかかわらず0になるようです。 実際に数値ではなく、abcdでやってみたところ0のようです。 この場合、逆行列は存在しないのではないかと思いますが、このヒントが間違っているとはあまり思えず、困っています。 補足ですが、この問題は最小二乗法をエクセルで行列を用いて行うという趣旨です。 もとのデータとして（ｘ、ｙ）の座標が4点与えられており、行列Xはｘの要素を縦にならべたもの、Aは最小二乗法で求める一次関数式のパラメーターa,bで、YはXと同様座標のｙ要素です。 私の理解が間違っていて、何行何列という部分に誤りがあるなどの指摘があれば、ぜひお願いいたします。 そもそもある行列とその転置行列の積の逆行列は存在するのかどうかもお願いします。 締め切りが近く、ちょっとあせっています。 よろしくお願いします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有値問題
以下の証明はどのように行えばいいのでしょうか。 ｎ次多項式f(s)=ａ(n)ｓ^n ＋ ａ(n-1)ｓ^(n-1) ＋ ・・・・ ＋ａ(1)ｓ ＋ ａ(0)とする。 行列Ａ(ｎ×ｎの正方行列)の固有値がλ１、λ２、・・・、λｎであるとき、行列多項式f(A)の固有値はf(λ1)、f(λ2)、・・・、f(λn)であることを、任意のｎ次正方行列は適当な正則行列ＱによってＱ^(-1)ＡＱが下三角行列になるようにできることと、下三角行列の固有値は対角成分になることを用いて示せ。 という問題です。分かりにくくてすいません。 行列多項式というものが初めて目にする言葉ですし、方針が立ちません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の積の固有値
「nxn正則行列A,B,X=ABに関して，AとBの固有値と固有ベクトルが分かっているときに，Xの固有値と固有ベクトルを求めよ．」 という問題が解けません．どなたかお分かりになる方いらっしゃいますでしょうか？ 補足 難しさは変わらないと思うのですが，Aは上三角行列，Bは下三角行列，X,A,Bは確率行列（全ての行を足すと(1,1,...,1)となる）という条件がありました． ですので，X,A,Bはそれぞれ固有値１を持つというのは分かります．この条件を使わないほうがいいのですが，使った場合でもありがたいです． なお，反復法などを用いて数値計算的に解きたいのではなくて，解析的にビシッと解きたいので，よろしくお願いします． ヤフー知恵袋のほうでも質問させていただいたのですが，有効な解が得られれませんでした． 教科書や，問題集の練習問題などではなく私が個人的に解きたい問題です．
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列A'Aの固有値と行列Aの固有値の関係性
行列Aの固有値だけから、 A'Aの固有値を求める方法はありますか。 例えば、A*Aの固有値は行列Aの固有値の2乗になると思うのですが、 A'Aの場合のAの固有値とA'Aの固有値に関係性があれば知りたいです。 A'Aの行列式(A'Aの固有値の積)は、行列Aの行列式(Aの固有値の積)の2乗になることはわかりましたが、個別の固有値を知りたいです。具体的なA'Aの固有値が分からなくても、それぞれの固有値が比例するなどの関係性でも教えていただければ幸いです。 Aは下三角行列で、 A’は行列Aの逆行列です。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有値について
I_n：n次単位行列 J_n：全成分が1のn次正方行列 Q_n=(1/n)(I_n-(1/n)J_n)の固有値をもとめよ。 という問題なのですが、n=2,3のときでためしたところ、固有方程式がλ(λ-n)^(n-1)になりそうな感じだなということまではわかって、帰納法でk=n+1の場合を余因子展開して・・・という感じで色々考えたのですがなかなかうまく証明が出来ません。 証明（と間違っていたら答え）を教えてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題を教えてください。
行列の問題で解けなくて困っています. よろしければ教えていただけないでしょうか。 行列に関係する以下の問い(1)～(4)に答えよ。 (1)2行2列の行列をAとする。さらにその固有値をλ1，λ2(λ1≠λ2)とし、それぞれに付随する固有ベクトルを(x1，y1)と(x2，y2)とする。 P≡ ｜x1 x2｜ ｜y1 y2｜ と置くと、固有値と固有ベクトルの定義から AP＝P|λ1 0| |0 λ2| と書ける。ここから、 A＝P｜λ1 0｜P^－1 ｜ 0 λ2| および A^ｎ＝P|λ1 0｜^ｎP^-1 |0 λ2| となることを示せ。ここでP^-1はPの逆行列、ｎは正の整数、A^ｎは行列Aのｎ乗を示す。 (2)固有値が1と－1である2行2列の行列Bがある。この行列のｎ乗B^ｎを求めよ。さらにその逆行列(B^ｎ)^－1を求めよ。B^ｎと(B＾ｎ)^－1の両方において、ｎが偶数と奇数で答えが異なるので、両者を区別して答えを示せ。必要なら2つの正則な正方行列B1、B2の積の逆行列が (B1B2)^－1＝B2^－1B1^－1 となることを使え。 (3)固有値が1と－1で、それぞれに付随する固有ベクトルが(2，1)と(1，1)である2行2列の行列Cを求めよ。 (4)xとyを未知数とする次の連立方程式 |3 －4|^21 |x| ＝|10| |2 －3| |y| |7| を解け。ここで |3 －4|^21 |2 －3| は行列 |3 －4| |2 －3| の21乗を表す。 という問題です。 計算過程、解答のほうをどうかよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ojisan7様 大変有用な情報ありがとうございます。