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2002/08/08 00:07

asterの回答

aster
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2002/08/08 14:00 回答No.10

　複雑な因数分解を解くには、どういう方法があるかというのを、以下の参考ＵＲＬの参照回答が記しています。下に指針を写してみますと、指針自体複雑なことを書いています。しかし、これは、「非常に複雑な因数分解」を解くときの指針なのです。２）で述べている、特定の変数の次数順に並べてみるというのは、できれば、変数のなかで、「もっとも次数の低い変数を」使って並べてみるというのが、妥当なのですが、その点の注意は書かれていません。＞　　アプローチとして、別に重要度順ではありませんが、次のような方法があります。＞　＞　　１）基本的な公式を覚えていて、これが使えるかどうか。基本的な公式とは、例えば、(a+b)^2=z^2+2ab+b^2 とか、(a+b)(a-b)=a^2-b^2 と行ったようなごく基本的な公式です。＞　　２）特定の変数、例えばｘで、次数順に並べてみて、整理し、それで何か、見通しが立つかどうか。＞　　３）式をよくみて、或る変数と或る変数では、入れ替えて、同じ結果になるかどうか。つまり、入れ替え可能性を考えてみる。＞　　４）特定の変数、例えばｘに、１とか－１、２，－２など、それらしいと思った数を入れて、式を整理して見る。＞　　５）簡単な変数で置き換えても問題ない複雑な変数は、置き換えを行う。例えば、x^2＝X など。この五つの解法の指針のなかの２と４を使って、因数分解してみましょう。４の方法はおそらく知らないと思いますが、非常に有効な場合があります。 ---------------------------------------- それでは、まず２）の指針、つまり、もっとも次数の低い変数で、次数順に整理してみるという方法を使ってみます：Ａ）　xy－2x－3y＋6 Ｂ）　x2－ax＋4x－3a＋3 Ａは、ｘもｙも同じ次数です。だからどちらで整理してもよく、ここではｘで整理してみます。次のようになります： A＝(y-2)x-3(y-2) ＝(y-2)(x-3) もう解けてしまいました。Ｂの場合は、もっとも次数の小さな変数は、ａです。ａの次数順に整理すると： B＝-(x+3)a+x^2+4x+3 x^2+4x+3 を因数分解すると→ (x+1)(x+3) 従って B＝-(x+3)a+(x+1)(x+3)＝(x+3)(x+1-a) これが答えで、簡単に解けます。 ---------------------------------------- それでは、４）の指針ではどうなるかです。Ａをよく見ますと、ｙに２を入れると、全体が０になることが分かります。これは、(y-2) で因数分解できるということなのです。他方、ｘに３を代入しても、全体が０になります。つまり、(x-3) で因数分解できるのです。上の二つを考えると、(y-2)(x-3) で因数分解できることになり、元の式がｘｙがもっとも次数が大きいですから、これが因数分解した答えだとなります。Ｂの方も、x^2 をゼロにして消そうと思うと、a＝x を代入すると、x^2 はゼロになります。この時、式は、4x-3x+3 になり、x+3 になります。つまり、x+3＝０とすると、全体がゼロとなります。 x＝-3 を代入してみると、B＝9+3a-12-3a+3＝0 従って、(x+3) で因数分解できるのです。x^2 と 3 が次数の大きい項と小さい項ですから、 B＝(x+3)(x+na+1) で、ｎを幾らにすると、式が成り立つかを考えると、 -3a という項がありますから、ｎ＝－１とするとよいことになります。実際、これで，他の項もうまく係数が合います。従って、B＝(x+3)(x-a+1) です。 ---------------------------------------- ４）の指針で、Ｂの問題を解くのは、この場合、少し面倒なことになるということが分かります。この問題の場合は、問題が易しいので、２）の指針だけで問題が解けるのですが、もっと複雑な問題になってくると、３）４）５）の指針が、問題を打開するのに有効性を発揮するのです。この問題の場合は、２）の指針だけで、十分簡単に解けるということが分かるのです。解き方として、２）の指針を覚えると、かなり有効だと分かります。なお、以下の参考１と２の指定回答の回答者は、理論的な因数分解の解法のアルゴリズムを列挙しているのであり、「対称式」というような概念は、実は大学レヴェルで出てくるのですが、因数分解の複雑な問題では、実際は、この概念を暗黙で使った方法で解くことがあるのです。＞参考１：No.183411 質問：因数分解を教えてください。 No.4 回答＞http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=183411 ＞参考２：No.239841 質問：複雑な因数分解で困っています。 No.6 回答＞http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=239841 　