質問です。

質問

xy－2x－3y＋6 と

　x2－ax＋4x－3a＋3の因数分解ができません（ＴＴ）

ｘについて整理する…とかｙについて整理する…というのが全く意味不明です。
何かこの式の中に公式があるんですか？？
それを見つけるのが私にとって難しいです。

先生が解くと、「あ～、これとこれが同じだからくくって…」「Ａと置いて分解して…」と分かるのですが、その以前の問題、「同じ項」を作れないんです！
これは「慣れ」でしょうか？？
　詳しい解説を宜しくお願い致しますm(._.*)mペコッ

回答No.10

aster

複雑な因数分解を解くには、どういう方法があるかというのを、以下の参考ＵＲＬの参照回答が記しています。下に指針を写してみますと、指針自体複雑なことを書いています。しかし、これは、「非常に複雑な因数分解」を解くときの指針なのです。

２）で述べている、特定の変数の次数順に並べてみるというのは、できれば、変数のなかで、「もっとも次数の低い変数を」使って並べてみるというのが、妥当なのですが、その点の注意は書かれていません。

＞　　アプローチとして、別に重要度順ではありませんが、次のような方法があります。
＞　
＞　　１）基本的な公式を覚えていて、これが使えるかどうか。基本的な公式とは、例えば、(a+b)^2=z^2+2ab+b^2 とか、(a+b)(a-b)=a^2-b^2 と行ったようなごく基本的な公式です。
＞　　２）特定の変数、例えばｘで、次数順に並べてみて、整理し、それで何か、見通しが立つかどうか。
＞　　３）式をよくみて、或る変数と或る変数では、入れ替えて、同じ結果になるかどうか。つまり、入れ替え可能性を考えてみる。
＞　　４）特定の変数、例えばｘに、１とか－１、２，－２など、それらしいと思った数を入れて、式を整理して見る。
＞　　５）簡単な変数で置き換えても問題ない複雑な変数は、置き換えを行う。例えば、x^2＝X など。

この五つの解法の指針のなかの２と４を使って、因数分解してみましょう。４の方法はおそらく知らないと思いますが、非常に有効な場合があります。

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それでは、まず２）の指針、つまり、もっとも次数の低い変数で、次数順に整理してみるという方法を使ってみます：

Ａ）　xy－2x－3y＋6
Ｂ）　x2－ax＋4x－3a＋3

Ａは、ｘもｙも同じ次数です。だからどちらで整理してもよく、ここではｘで整理してみます。次のようになります：

A＝(y-2)x-3(y-2)
＝(y-2)(x-3)

もう解けてしまいました。

Ｂの場合は、もっとも次数の小さな変数は、ａです。ａの次数順に整理すると：

B＝-(x+3)a+x^2+4x+3
x^2+4x+3 を因数分解すると→ (x+1)(x+3) 従って
B＝-(x+3)a+(x+1)(x+3)＝(x+3)(x+1-a)

これが答えで、簡単に解けます。

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それでは、４）の指針ではどうなるかです。

Ａをよく見ますと、ｙに２を入れると、全体が０になることが分かります。これは、(y-2) で因数分解できるということなのです。
他方、ｘに３を代入しても、全体が０になります。つまり、(x-3) で因数分解できるのです。

上の二つを考えると、(y-2)(x-3) で因数分解できることになり、元の式がｘｙがもっとも次数が大きいですから、これが因数分解した答えだとなります。

Ｂの方も、x^2 をゼロにして消そうと思うと、a＝x を代入すると、x^2 はゼロになります。この時、式は、4x-3x+3 になり、x+3 になります。つまり、x+3＝０とすると、全体がゼロとなります。

x＝-3 を代入してみると、B＝9+3a-12-3a+3＝0
従って、(x+3) で因数分解できるのです。x^2 と 3 が次数の大きい項と小さい項ですから、
B＝(x+3)(x+na+1) で、ｎを幾らにすると、式が成り立つかを考えると、
-3a という項がありますから、ｎ＝－１とするとよいことになります。実際、これで，他の項もうまく係数が合います。

従って、B＝(x+3)(x-a+1) です。

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４）の指針で、Ｂの問題を解くのは、この場合、少し面倒なことになるということが分かります。

この問題の場合は、問題が易しいので、２）の指針だけで問題が解けるのですが、もっと複雑な問題になってくると、３）４）５）の指針が、問題を打開するのに有効性を発揮するのです。

この問題の場合は、２）の指針だけで、十分簡単に解けるということが分かるのです。
解き方として、２）の指針を覚えると、かなり有効だと分かります。

なお、以下の参考１と２の指定回答の回答者は、理論的な因数分解の解法のアルゴリズムを列挙しているのであり、「対称式」というような概念は、実は大学レヴェルで出てくるのですが、因数分解の複雑な問題では、実際は、この概念を暗黙で使った方法で解くことがあるのです。

＞参考１：No.183411 質問：因数分解を教えてください。 No.4 回答
＞http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=183411

＞参考２：No.239841 質問：複雑な因数分解で困っています。 No.6 回答
＞http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=239841

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=183411,http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=239841

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
こんなにも早くの返事が返ってくるとは思っていなかったので、嬉しいです＾＾

回答No.9

sankonorei

２次式で因数分解出来るものは　（　　）（　　）の形になりますから、xy-2x-3y+6=(x )(y )と書くことができます。定数項は６で、-2,-3が目に付きますから
(x-3)(y-2)と因数分解出来ることが判ります。
　次に、x^2-ax+4x-3a+3も(x )(x )と書くことが出来ます。定数項は３ですから、１×３しかないので
(x 1)(x 3)まで書けます。＋４ｘなので(x+1)(x+3)となるのも判ります。あと-ax-3aですから、-aが共通因数となりますから、これを(x+1)の部分に入れれば(x+1-a)(x+3)と、因数分解できました。基本的な方法は他の方々が書かれているのでこんな方法もあるのかと理解していただければよろしいですよ。因数分解は（　　）（　　）の形が基本ですからどこに何が入り符号はどうなるのかを見極めれば難しく考えなくてもできます。どれだけ問題を解くか、それが慣れてくるということに繋がります。習うより慣れろ、ということです。数学に王道なし。です。

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
こんなにも早くの返事が返ってくるとは思っていなかったので、嬉しいです＾＾

回答No.8

KaitoTVGAMEKOZOU

参考ＵＲＬをどうぞ。
あと、NO6の方は因数分解解法をすべて書き込んでから偉そうなことを言うべきだと思うよ。私がやったようにね。一応回答されている方々は数学板の猛者達なので、半端な強さで強がると恥かくよ。

科学的な疑問なんですが、
＞解き方として間違っていると思います。
ということは解答も間違っているのではないでしょうか？
でも、
＞皆さんの解答はあってはいるのですが
とあるから、あなた矛盾したこと言ってますよ。それに皆さんの方法は私の因数分解解法にちゃんと記載されているので別に試行錯誤的でも何でもない。昔から知られている方法だし。
反論があるなら解法を載せてからにしなさいね。もう早速攻撃されているみたいですが。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=235735

お礼

参考になるURLを教えて下さって有り難う御座いました！
こんなにも早くの返事が返ってくるとは思っていなかったので、嬉しいです＾＾

回答No.7

noname#5179

＃６の回答を読んでいて、気になったんですが、
基本的な理論に基づいてませんよ。

Singolloさんがおっしゃっている
＞(次数の低い文字について整理するのがコツです)
これが基本です。
aについてまとめると、理論的にさえ考えられれば、すんなり解ける問題です。

-(x+3)a+x^2+4x+3
この式を導き出せれば、理論的に、後半部分が、（x+3）もしくは、aで割れることが因数分解できる必要条件となります。そして、ｘ＋３で割れてめでたしめでたしとなります。

ｘでまとめると
>ここで公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abを使える
>ということに気づかなければなりません
という一種の気づくという作業が必要になってきて、理詰めというよりは、気づくという作業が必要となります。

(数学オリンピック日本代表だったので専門家とさせてもらいます。)

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
こんなにも早くの返事が返ってくるとは思っていなかったので、嬉しいです＾＾

回答No.6

tak2006

皆さんの解答はあってはいるのですが、解き方として間違っていると思います。
それは、解き方が論理的でなく「試行錯誤的にやってたまたま解けた」感じになっているところです。
　大抵の問題について解けるようになるには、やはり経験やひらめきがあったほうがある程度は必要ですが、先ず、ちゃんと理論に基づいた方法をやってみるべきだと思います。

　因数分解を行うコツは、例えば式がxの2次関数なら、
　　(1)　「x^2(xの2乗はこういう風に表記します。)、x、残り(xが付いてない物)」の3つにまとめる。
　　(2)　xがついてないものだけで因数分解する。
　　(3)　各係数に注目して、たすきがけを行う（たすきがけを学校で習っていないなら(3)は飛ばしてください)。
　　(4)　各公式が使えないかを考える。　

　今回の２問目を例として解いてみます。

　x^2－ax＋4x－3a＋3
=x^2+(4-a)x-3a+3　　　←(1)を行っています。
=x^2+(4-a)x+3(1-a) ←(2)を行っています。

ここで公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abを使えるということに気づかなければなりません。つまり、掛けて3(1-a)、足して4-aになるものを考えます。(2)を行うのは、掛けて3(1-a)となるものを探しやすくするためです。
掛けて3(1-a)、足して4-aになるものは3と(1-a)となります。

よって、与えられる式は、
与式=x^2+{3+(1-a)}x+3(1-a)
=(x+3){x+(1-a)}
=(x+3)(x+1-a)

となるわけです。
あまり詳しくは回答してないので、質問があったら答えます。

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
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回答No.5

Mell-Lily

xy-2x-3y+6=x(y-2)-3(y-2)=(x-3)(y-2)

　x^2-ax+4x-3a+3=x^2+(4-a)x+3(1-a)=(x+3)(x+1-a)

お礼

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回答No.4

nyanees

解き方はみなさんが解説なさっているので
私は最後の部分にだけ。

慣れでしょうか？？

ズバリ、慣れですよ。ある程度問題を解くと臭ってくるんです。
ああ、ここに３と６あるな（３の倍数かな？）とか、
２と－４ね（２の倍数かな？）とか。
で、ｘでまとめると、あ、そうね、やっぱりとか。

少し高度になると、２ｘでまとめたりしなきゃいけなくなります。
公式は覚えなきゃだめだし。

問題数を解いてみるとだんだん実感できます。
健闘を祈ります。

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
こんなにも早くの返事が返ってくるとは思っていなかったので、嬉しいです＾＾
　やっぱり慣れなんですね；
宿題も兼ねて頑張ってみたいと思います！（＞＜）

回答No.3

Singollo

『ｘについて整理する』というのはx以外の文字は全部定数とみなして、並べ替えてxの何乗とかで括ってしまうということです

最初の式なら
xy－2x－3y＋6
=(y-2)x-(3y-6)
となりますね
3y-6はy-2の3倍ですからさらに
=(y-2)x-3(y-2)
となり、y-2で括ると
=(y-2)(x-3)
で出来上がりです

2番目の式では
まずaについて整理して(次数の低い文字について整理するのがコツです)
=-(x+3)a+x^2+4x+3
x^2+4x+3をx+3で割るとx+1だから
=-(x+3)a+(x+3)(x+1)
x+3で括って
=(x+3)(x+1-a)
となります

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
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回答No.2

Magician

xy-2x-3y+6は、

xがあるものをまとめます。
xy-2x
→x(y-2)

余ったものは、
-3y+6
(y-2)でまとめられればいいなぁ、なんて思っていると、
-3y+6
→-3(y-2)

合わせて
xy-2x-3y+6
=x(y-2)-3(y-2)
=(x-3)(y-2)

x^2－ax＋4x－3a＋3の方は

x^2を元に因数分解するのだろうから、
x^2+ax+bみたいにすればできそうだな、と予想します。

・・・が、問題を転記し間違っていませんか？

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
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回答No.1

oshiete_goo

(1)xy－2x－3y＋6
(x+a)(y+b)
の形に因数分解できそう...

(2)x^2－ax＋4x－3a＋3
xの次数ごとに整理してxの2次式とみて因数分解も可能でしょうが,
aを含む項とそうでない項に分けて

x^2－ax＋4x－3a＋3
=-(x+3)a+x^2+4x+3

これが因数分解されるためには, x^2+4x+3の部分からも(x+3)が出てくるはず.
そうでないと共通因数がないことになって, 因数分解できない.
すると共通因数で括って....

なお, 「xについて整理」とは，今のような場合xについてはxの2乗が最高次なので，
(x^2　の項)+(xの項)+(定数項)
といった次数ごとに整理するという意味です．

お礼

みなさん！とても詳しい回答を有り難う御座いました！
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