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角度の問題
aquarius_hiroの回答
lookaroundさん、こんにちは。 普通の図形的なやり方ではできないような気がしたので、三角関数を使って答えを求めてみました。 その結果、半端な値になったので、やはり普通のやり方では難しそうな雰囲気です。小学校六年生の問題とのことなので、誤植があるのかもしれませんね。 一応、どうなるのかを示してみます。 まず、 AD=AB=a AC=BD=b 求める角度DAC=x とおきます。 角CDA=124°より、角ACD+x+124=180より、角ACD = 56-x が成り立ちます。 点CからDの方向に長さCE=DB=bになるように点Eをとります。 三角形AECの面積は、(1/2)・b^2 sin(56-x) になります。…(1) 一方、三角形ADBは、AD=ABより二等辺三角形で、角ADB=角ABD=56度です。 故に、三角形ADBの面積は、(1/2)・ab sin56 が得られます。…(2) また、頂角DAB=180-56×2=68度なので、この面積は (1/2)・a^2 sin68 とも書けます…(3) これら二つの三角形の面積は、底辺の長さbで高さが共通なので等しくなります。 したがって、(1)~(3)より、 (1/2)・b^2 sin(56-x) = (1/2)・ab sin56 = (1/2)・a^2 sin68 これより、 b sin(56-x) = a sin56 b sin56 = a sin68 なので、辺々割って、sin(56-x)/sin56 = sin56/sin68 故に、 x = 56 - Arcsin( sin^2 56/sin68) ≒ 8.159392286度 … (4) が得られます。これが答えですが、半端な値なので、小学生の範囲の図形的な方法ではなかなか解けなさそうな雰囲気です。 ところで、(1)のように面積を sinを使って求める方法を少し説明しておきます。 二つの辺の長さを p, q とし、その間の角度をθとすると、底辺を q としたときに、高さが p sinθ になるので、その三角形の面積は、 S = (1/2)・p sinθ・q = (1/2)・pq sinθ と書けます。上の計算ではこの式を三回適用しました。 もし問題の読み違いや、計算違いがあったらすみません。
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