スルツキー行列を用いた証明について
- スルツキー行列を用いた証明の方法について教えてください
- スルツキー行列および価格ベクトルを使ってSp=0を証明する方法を教えてください
- スルツキー行列とは何であり、なぜSp=0となるのかについて教えてください
- ベストアンサー
スルツキー行列を用いた証明について
いつもお世話になっております。 この度は以下の問題を教えていただきたく投稿いたしました。 Sをn×nのスルツキー行列、ならびにpをn×1の価格ベクトルとするとき、Sp=0となることを示しなさい。 このような問題です。恥ずかしながら、この問題で初めてスルツキー行列という言葉を聞き、調べた結果、成分(i,j)がヒックスの需要関数hiを価格pjで偏微分したものである行列ということは分かりました。ですが、これを如何に用いて証明すべきであるかがわかりません。スルツキー方程式を用いてマーシャルの需要関数に書き換えてもみたのですが、そこで詰まってしまいます。 お分かりの方がいらっしゃるようでしたら、考え方のヒントだけでも構いませんので、教えていただけないでしょうか?何卒宜しくお願いします。
- bdpq
- お礼率100% (6/6)
- 経済学・経営学
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
(定理1)関数f(x)がx=(x_1,...,x_n)についてk次同次関数であるとき,その偏導関数 f_i(x) = ∂f(x)/∂x_i はxについて(k-1)次同次になる. (定理2)関数f(x)がx=(x_1,...,x_n)についてk次同次関数であるとき, Σ_i f_i(x) x_i = k f(x) を満す (オイラーの定理). 同次関数に関する以上の二つの定理と,支出関数が価格について一次同次であること,ヒックスの需要関数は支出関数を価格で偏微分したものであることを結びつければ証明できると思います.
関連するQ&A
- 逆行列の行列による微分
今、あるシステムを構成したく行列方程式を解こうとしているのですが、行き詰ってしまったので質問させていただきます。 YとAを5×1行列、Bを5×3行列、Xをスカラ、Wを5×5行列、Hを3×1行列,B'はBの共役転置行列として、 Y = (A+BH)X・・・(1) H = -inv(B'WB)B'WA・・・(2) とします。 ((2)を(1)に代入した状態で)Y'Y=Jとおいて、∂J/∂W=0となるようなWを求めようとしているのですが、逆行列の行列による微分などが出てきてしまい、まったくわからなくなってしまいました。 これは解けるのでしょうか? 行列をvec関数を使ってベクトルになおしてみたりしたのですがinv()の部分がわからなくて・・・。 逆行列の行列による微分さえわかれば何とかなるような気もするのですが・・・。 解けるとすればどのようになるのでしょうか? 解法のヒントや参考になるページなどありましたら紹介していただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マーシャルの需要曲線とヒックスの需要曲線について
「縦軸に第1財の価格、横軸に第1財の数量を計り、第1財のマーシャルの需要曲線とヒックスの需要曲線を描く。マーシャルの需要曲線の傾きの絶対値がヒックスの需要曲線の傾きの絶対値より大きくなるのはどのような場合か説明しなさい。」 マーシャルの需要曲線とヒックスの需要曲線の違いは理解しているのですが、このような議論はしたことがなく解けなくて困っています。 どなたか宜しくお願い至します。
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
- 行列を用いて連立一次方程式を作る問題について
解ベクトル(x e)を用いてこの国の為替市場が均衡する。この国の通貨に対する需要量(供給量)と為替レートを求めるための連立一次方程式を表記せよという問題があるのですが、この場合の係数行列は2×2ですか? 需要関数x=100-e 供給関数x=-300+5e という条件が与えられていて、 (1)でその連立一次方程式を表記する問題 (2)ではその求めた連立一次方程式とクラメールの公式を用いて均衡為替レートを求めよ、という問いになっています。 隠れた均衡式xd=xsを含めて考えて3×3の係数行列として計算するとちょうど綺麗な数字(100)が出てくるのですが、解ベクトル(x e)は2つしかありません。しかしそのまま二つの式だけで求めようとすると割り切れない値(-400÷-6)が出てきてしまいます。 これはきちんと係数行列をまとめる方法があるのでしょうか?それとも単純に自分のミスでしょうか・・?
- 締切済み
- 数学・算数
- ヒックスの第二法則の説明方法
補償需要関数を価格で微分すると、その値は負になるというのがヒックスの第二法則だと理解していますが、2財以上の場合、それを数式によって証明できると聞きました。 いくつかの本を読んで調べたのですがいまいち理解できませんでした。 質問は、 1.補償需要関数を価格で微分したときの値が負になるのは無差別曲線の傾き(限界代替率)が逓減するからだという理解で正しいのか? 2.ヒックスの第二法則は如何にして証明すればよいか? 基本的な上に質問があやふやで大変恐縮ですが、回答を頂けると大変有難いです。何卒宜しくお願い申し上げます。
- 締切済み
- 経済
- Javascriptでの行列計算
Javascriptでの行列計算 Javascriptで行列計算のプログラミングの作成を考えています。 例として、 G*v=I が成り立つと仮定し、vのベクターを求めたいのです。 Gはn*nの行列で、Iはn*1のベクターです。nは最大で10000になります。一次連立方程式を使ってvベクターを求めることは可能ですか?効率のいいアルゴリズムはありますでしょうか?消去法を使えばいいのかなと考えていますが,行列計算に関してあまり知識がないので、ここで質問させていただきました。
- 締切済み
- JavaScript
- 行列の固有値について
I_n:n次単位行列 J_n:全成分が1のn次正方行列 Q_n=(1/n)(I_n-(1/n)J_n)の固有値をもとめよ。 という問題なのですが、n=2,3のときでためしたところ、固有方程式がλ(λ-n)^(n-1)になりそうな感じだなということまではわかって、帰納法でk=n+1の場合を余因子展開して・・・という感じで色々考えたのですがなかなかうまく証明が出来ません。 証明(と間違っていたら答え)を教えてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 下の関数の勾配ベクトルとヘッセ行列の求め方を教えて下さい!
下の関数の勾配ベクトルとヘッセ行列の求め方を教えて下さい! 勾配ベクトルとヘッセ行列の求め方は大体わかっていると思うのですが、微分の仕方があやふやな為よくわかりません(;_;) よろしくお願いします!
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列式
「n<mのとき、m個のn項ベクトルは1次従属である」 の証明なんですが、同次連立一次方程式 a11x1+a12x2+…+a1mxm=0 a21x1+a22x2+…+a2mxm=0 … an1x1+an2x2+…+anmxm=0 に自明な式0*x1+…+0*xm=0を形式的にm-n個付け加えた式に定理 「n次正方行列A=[a1 … an]において|A|=0であることとa1,…,anが1次従属であることは同値である」 と、定理 「n項ベクトルa1,…,amの各ベクトルの第1成分から第r成分(r<n)を並べてできるr項ベクトルをa'1,…,a'mとおくとき、a'1,…,a'mが1次独立ならばa1,…,amも1次独立である」 を適用すればよい、と書いてあるのですが、どのように適用すればいいのかわかりません。 どなたかわかる方、教えて下さい。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
オイラーの定理を用いるとは全く想像できませんでした。 回答者さまの示していただいた方針通りに、実際に手を動かしてみたところ証明することができました。 丁寧にご回答いただき、誠にありがとうございました。