ヒックスの第二法則の説明方法

質問

補償需要関数を価格で微分すると、その値は負になるというのがヒックスの第二法則だと理解していますが、2財以上の場合、それを数式によって証明できると聞きました。
いくつかの本を読んで調べたのですがいまいち理解できませんでした。

質問は、
１．補償需要関数を価格で微分したときの値が負になるのは無差別曲線の傾き（限界代替率）が逓減するからだという理解で正しいのか？

２．ヒックスの第二法則は如何にして証明すればよいか？

基本的な上に質問があやふやで大変恐縮ですが、回答を頂けると大変有難いです。何卒宜しくお願い申し上げます。

回答No.1

at9_am

話を簡単に二財で書きますが、一般に n 財でも同様のことが出来ます。

効用関数と価格および所得が与えられると、一般に
max u = u(x1, x2)
subject to p1 x1 + p2 x2 ≦ m
という形で問題を書くことが出来ます。
この式は、予算制約を満たし効用を最大にする (x1, x2) を求める、ということを数式で表した物です。

ここでは所得を一定として書きましたが、一定の効用を得るために必要な所得を最小化する問題として、
min m = p1 x1 + p2 x2
subject to U = u(x1, x2)
と書くことが出来ます(双対性アプローチ)。
いくつかの条件が満たされれば(効用関数が局所非飽和性を満たす、等)、何れの方法からでも U、m が同じならば得られる消費量 (x1, x2) は同じになります。

したがって、需要量は (p1, p2) と m 又は u の関数として書くことが出来ます。通常の需要関数は m をパラメータとした前者で、補償需要関数は u をパラメータとした後者です。

1.
ヒックスの需要関数(補償需要関数)は、
min m = p1 x1 + p2 x2
subject to U = u(x1, x2)
から来ているので、
> 補償需要関数を価格で微分したときの値が負になるのは無差別曲線の傾き（限界代替率）が逓減するからだという理解
は、価格が自己価格ならば正しいです。

2.
一番シンプルなのは、
x1(p1, p2, m) = h1(p1, p2, u)
という補償需要関数の性質から、
∂h1/∂p1 = ∂x1/∂p1
となることを利用する方法です(他にもあります)。

この方法であれば、容易に証明することが出来ます。

お礼

大変参考になりました。
細かくご回答頂き、心より感謝申し上げます。