微分方程式

質問

行列の微分方程式
(d/dt)v=Mv
(vは2成分ベクトル、Mは2×2行列)
においてMの固有値の実部が負であれば減衰解となるのはなぜですか？
なぜ固有値なのでしょうか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

少し物理数学的な議論になりますが，大体次のようになります．

Mは必ず上三角行列Nにできることは線形代数で学んでいるはずです．しかもNの対角項は固有値λ_1，λ_2が（左上から）並びます．(2,1)成分は0ですが，(1,2)成分は0でないかもしれないのでaとしておきましょう．すると，そのような座標変換P，すなわち

P^{-1}NP=M

を満たす正則行列Pによってv=Puとすると微分方程式は

d(Pu)/dt=M(Pu)

Pdu/dt=MPu

左からP^{-1}をかけて

du/dt=P^{-1}MPu=Nu

成分でかくと

(1)du_1/dt=λ_1u_1+au_2

(2)du_2/dt=λ_2u_2

(2)からu_2=Ce^{λ_2t}(Cは定数）とかけるのでこれを(1)に代入すると

du_1/dt-λ_1u_1=aCe^{λ_2t}

もし右辺が0ならこれは解u_1(t)=De^{λ_1t}を持ちますが，このDをtの関数D(t)としてu_1(t)=D(t)e^{λ_1t}とおいてみましょう．

(dD/dt)e^{λ_1t}+λ_1De^{λ_1t}-λ_1De^{λ_1t}=aCe^{λ_2t}

dD/dt=aCe^{(λ_2-λ_1)t}

となります．この解は

λ_1≠λ_2のとき：D(t)=aCe^{(λ_2-λ_1)t}/(λ_2-λ_1)+E
λ_1=λ_2のとき：D(t)=aCt+E

となります．よって

λ_1≠λ_2のとき：u_1=aCe^{λ_2t}/(λ_2-λ_1)+Ee^{λ_1t}
λ_1=λ_2のとき：u_1=(aCt+E)e^{λ_1t}

となります．

これでu_1,u_2は

λ_1≠λ_2のとき：e^{λ_1t},e^{λ_2t}
λ_1=λ_2のとき：e^{λ_1t},te^{λ_1t}

の線形結合でかけることが分かりました．ところでλを固有値であるとし，λ=-ｓ+iω(s>0)とすると

e^{λt}=e^{-st}e^{iωt}=e^{-st}(cosωt+isinωt)

te^{λt}=te^{-st}(cosωt+isinωt)

となりますが，指数因子e^{-st}はt→∞のとき十分速く0に近づくことがしられています．te^{-st}も0に近づきます．これが

「固有値の実部が負であれば減衰解」

ということの意味です．

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>α=ae^(λ1)、β=be^(λ2)
>よって一般解は v=ae^(λ1)v1 + be^(λ2)v2

t が抜けてました(^^;

α=ae^(λ1・t)、β=be^(λ2・t)
よって一般解は v=ae^(λ1・t)v1 + be^(λ2・t)v2

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

v を M の固有ベクトル(v1, v2)であらわすと

v = α(t)v1 + β(t)v2

これを方程式に入れて、両辺が一致するようにα、ベータを決めると、
固有値をλ1, λ2 とすると

α=ae^(λ1)、β=be^(λ2)

よって一般解は v=ae^(λ1)v1 + be^(λ2)v2

これがアウトラインです。

蛇足ですが、固有値が重なっている場合はこううまくは行かないです。
でも工学的にはこれで十分なことが多いですね。