内積について

質問

→a=(p,2),→b=(-1,3),→c=(1,q)について、√2|→a|=|→b|で、→a-→bと→cのなす角が60°であるとき、p,qの値を求めよ。

ベクトルの内積を求める問題なんですが、cos60°として、なす角の公式に当てはめればいいのでしょうか？
いまいち解き方がわからないので、どのような手順でやっていったらいいか、ヒントをください。お願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

長文になります。このパターンは難解にはならないと思ったのですが、
もっと巧みに解けるのでは、と思うのですが。
　(p,q)の組が４通り出てきます。同値変形ではないので無縁解が出現します。それを除くのが面倒です。

○　最後に２重根号が現れます。
　現行の教育課程では学ばないので、
　もし知らなかったら、両辺を二乗して確認して下さい。

　ＰＣ上で解いているので（スクロールしないと見えないので）同じ式を何度も書いています。
　最初の辺りも、どの順番で書いたら良いのか迷いました。
　全ての条件を、pとqに変換して、最後に・・・。

→a=aと表記します。

まず条件、
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

√2|a|=|b|・・・から始めます。
　2(|a|^2)=(|b|^2)
　　2((p^2)+4)=10
　　　((p^2)+4)=5
　　　　(p^2)=1
　　　　　　p=1,-1
-----------
内積　(a-b)=(p+1,-1)、、、c=(1,q)
　　　　(a-b)・c=p-q+1
-----------
準備　　　　|a-b|^2={(p^2)+2p+2}
　　　　　　　　|c|^2={(q^2)+1}
-----------
qを決定するために、(a-b)・c=|a-b||c|cos60度
　　p-q+1＝{　√{(p^2)+2p+2}√{(q^2)+1}　}/2
　　　{(p-q+1)^2}={(p^2)+2p+2}{(q^2)+1}/4
　　　　4{(p-q+1)^2}={(p^2)+2p+2}{(q^2)+1}
ここまで変形して置きます。
-----------
場合分け

　(1) p=1 のとき、

4{(2-q)^2}=5{(q^2)+1}
　4(q^2)-16q+16=5(q^2)+5
　　0=(q^2)+16q-11
　　　q=-8-5√3,-8+5√3

　　(p,q)=(1,-8-5√3),(1,-8+5√3)

　(2) p=-1 のとき、

4{q^2}={(q^2)+1}
　3(q^2)=1
　　　q=1/√3,-1/√3

　　(p,q)=(-1,1/√3),(-1,-1/√3)
------------------------------
　この後がやっかいです。
すぐに、無縁解とわかったら読み飛ばしてください。

a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

　　(p,q)=(-1,1/√3)を調べます。

a=(-1,2)、b=(-1,3)、c=(1,1/√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=-1/√3
(a-b)=(p+1,-1)=(0,-1)
|a-b|=1
|c|=(2/√3)

-1/√3=1*(2/√3)/2・・・不適。
-------------------------------
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

　　　(p,q)=(-1,-1/√3)は、

a=(-1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-1/√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=1/√3
(a-b)=(p+1,-1)=(0,-1)
|a-b|=1
|c|=(2/√3)
1/√3=1*(2/√3)/2・・・ＯＫ。
------------------------------
a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

　　　(p,q)=(1,-8-5√3)は、

a=(1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-8-5√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=10+5√3
(a-b)=(p+1,-1)=(2,-1)
|a-b|=√5
|c|=√(140+80√3)
10+5√3=√5*√(140+80√3)/2
10+5√3=√5√5√(7+4√3)・・・上記の２重根号です。
10+5√3=5*√(7+２√１２)
10+5√3=5(2+√3)・・・ＯＫ。

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a=(p,2)、b=(-1,3)、c=(1,q)、√2|a|=|b|、(a-b)・c=|a-b||c|/2

(p,q)=(1,-8+5√3)は、

a=(1,2)、b=(-1,3)、c=(1,-8+5√3)、

√2√5=√10、
(a-b)・c=p-q+1=10-5√3
(a-b)=(p+1,-1)=(2,-1)
|a-b|=√5
|c|=√(140-80√3)
10+5√3=5(2-√3)・・・不適。（計算は省略しました。）

ＥＮＤ

お礼

回答ありがとうございました。
わかりやすく教えていただいたので、納得できました！