- ベストアンサー
【応用解析】特異点 留数 位数について
Suueの回答
- Suue
- ベストアンサー率35% (19/53)
No.1の者です。 位数の求め方がわからないようでしたら、ローラン展開された形を予想して求めればできます。 まず、関数f(z)をz=0でローラン展開して、 f(z) = Σ(k:from -n to ∞)a[k]z^k (nは正整数) と展開されたとします。ここでa[k]は各z^kの係数で、[k]はaの添字を表します。また、これをn位の極であるとするために、a[-n]≠0とします。 このとき、g(z)= f(z)×(z^m) (mは0以上の整数) を考えます。 m<n のとき、lim(z→0)g(z) = ∞ m=n のとき、lim(z→0)g(z) = a[-n] n<m のとき、lim(z→0)g(z) = 0 であることが証明できるので、このことがわかれば位数の求め方もわかるはずです。一般の、z→ζ(ζは複素定数)については、w=z-ζと変数を変換すれば同様に証明できます。 ちなみに複素関数でいう「∞」とは、どのような極限の取り方においても、その絶対値が無限大になることです。詳しくはリーマン球面について学んでください。
関連するQ&A
- 留数のところが・・・。
f(z)=1/{z・sin(z)} の特異点と、留数を求めよ。 という問題なんですが、特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね? ここから、留数のもとめかたがわかりません。 詳しい方お願いします。 留数の定理は一応しっております。
- 締切済み
- 数学・算数
- 留数の計算
問: f(z)=1/(z-1)(z+3)^2 の孤立特異点における留数を求めよ。 僕の答え: 孤立特異点は、1と-3 z=1は、1位の極、z=-3は、2位の極 よって、公式より、 Res[z=1]f(z)=Lim z→1 (z-1)f(z)=1/(1+3)^2 = 1/16 Res[z=-3]f(z)=Lim z→ー-3 1/(2-1)! d/dz{(z+3)^2f(z)} =-1/(z-1)^2=-1/(-3-1)^2 = -1/16 で、足したら0になる!! これは、積分の留数定理から言っておかしいと思います。 恐縮ですが、どこで間違えたかお教え下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の留数を求める問題について。
次の関数の特異点における留数を求める問題がよくわかりません。 e^z/z^4(z-1) (e^z-1)/sinz e^z/z^4(z-1)については、留数は29/6(z=0),e(z=1)と出たのですが、自信がないです。 (e^z-1)/sinzについては、ローラン展開をしても整理がつかず、1/zの係数を求めることができませんでした。勉強不足で恐縮ですが解法を教えていただけると助かります。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の留数を求める問題について質問です
sinz/z^6(z-π) この関数の任意の点 z=a (つまり z=0 , z=π) における留数を求めたいのですが、これを留数を求める公式に当てはめていいものかよく分かりません。(sin0 , sinπ がともに0になってしまうので) 地道にローラン展開するしか方法はないのでしょうか。解法について教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素解析 除去可能特異点
複素解析学を勉強しているのですが、「ある関数f(x)の特異点は除去可能特異点であることを示せ。」 という問題の解き方がわからないのですが、どうわかりません。教えていただけないでしょうか? 普通に特異点を求めたあと、何かの定理や、やり方を使って除去可能な特異点であると証明するのですか? また、今解いている似たような問題で、 f(z)=z/(e^z-1)とする。点0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。 答えが、lim(z→0)z/(e^z-1)=lim(z→0)1/(e^z)=1したがって点0は除去可能特異点である。 もうひとつが、関数f(z)=(1-cosz)/z (|z|>0) を指定された円循環領域でローラン展開し、除去可能特異点であることを示せ。 これの解き方はまた別のやりかたで示すのでしょうか?
- 締切済み
- 物理学
- 複素解析 留数定理
∫[|z|=3] dz/(z^2 -3z+2) ∫[|z|=2] z/(z+1)(z^2 +1) という2つの問題を留数定理を使って自分なりにチャレンジしてみたのですが、よく理解できないところがあるので質問させていただきます。 まず特異点(?)を求めるのに2問とも分母=0としました。 そして留数を出すのにlim(z→a) f(z)(z-a) としました。 最後に留数定理で2πiをかけて、それぞれ答えが0、πiとなりました。 参考書の見よう見まねでやったので、ほとんどチンプンカンプンな状態なんですが答えとしては合っていますでしょうか。 また、留数を求める際に「○位の極」っていうのを意識しないといけないようなのですが、ここではどうなのでしょうか。 最後に、問題に「反時計回り一周の積分である」とありますが、特に意識しないといけませんか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ローラン展開 留数について
f(z)=sinz/(z^3*(1+z))における留数の求め方が分かりません. この分野は少し前に勉強したことなので,必死に考えていますが答えが算出出来そうにありません. 回答お願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
有難う御座いました。