- ベストアンサー
Σの計算 等差・等比型
kazumeroの回答
- kazumero
- ベストアンサー率40% (20/49)
n/2になるのは、kやnが偶数の時だけですね。 極限の世界では「振動する」と言います。
関連するQ&A
- 等差×等比の和の問題です。誰か解いてください。
等差×等比の和の問題です。誰か解いてください。 次の和Ｓを求めよ。 (1) S＝2+5・2+8・2^2+11・2^3+・・・・・+(3n-1)・2^(n-1) (2) S＝1+5・3+9・3^2+13・3^3+・・・・・+(4n-3)・3^(n-1) (3) S＝1+2/4+3/4^2+4/4^3+・・・・・+n/4^(n-1) (4) S＝1+3/2+5/2^2+7/2^3+・・・・・+(2n-1)/2^(n-1)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (等差数列×等比数列)の和の求め方
数列{a_n}は初項1、公差2の等差数列、数列{b_n}は初項1、公比3の等比数列とする。このとき、Σ[k=1→n]{a_k}{b_k}を求めよ。という問題です。 解説では、{a_n}=2n-1、{b_n}=3^(n-1)で、S=Σ[k=1→n]{a_k}{b_k}とおき、Sと3Sを計算すると -2S= 1 + 2*3 + 2*3^2 +..........+ 2*3^(n-1) - (2n-1)*3^n =1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^n とありますが、1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^nは一体何を公式に当てはめて出したのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等差・等比数列
【1】等差数列{An}に対してSn=Σ(n,k=1)Akとおく。 ここで、初項A1=38、第(m+1)項Am+1=5、Sm+1=258とする。 このときm=○であり、公差は○である。 また、Snはn=○のとき最大となり、その最大値は○である。 【2】等比数列{Bn}の初項B1と公比rは正の数とし、 Tn=Σ(n,k=1)Bkとおく。この数列{Tn}は 5T2=4T4を満たすとする。 ここでT4=(r~2+○)T2であるので、数列{Bn}の公比はr=○である。 さらにpを定数とし、Un=p+Tnとおく。p=○B1であるならば、 数列{Un}は等比数列となる。 【1】 Am+1=38+md=5 Sm+1=(m+1)/2(38+5)=258 m=11 よって38+11d=5 d=-3 An=-3n+41 -3n+41<0 n>41/3より、nが14以上で-3n+41が0より小さくなるので Snはn=13のとき最大 そのきの最大値は S13=13/2(38+2)=260 で合ってるでしょうか。 【2】 Bn=B1・r^n-1 B1>0、r>0 これは全然やり方が分からないんですが、 まず何をやればいいんでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- ある数列が等差数列であることを示す
各項が正の数である数列｛a_n｝があり、任意の自然数ｎについて、a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列をなし、a_2n、a_2n+1、a_2n+2はこの順に等比数列をなす。 (1)a_2nをa_2n-1、a_2n+1を用いて表せ。また、a_2n+1をa_2n、a_2n+2を用いて表せ。 (2)数列｛b_n｝を、b_n＝√(a_2n)で定めるとき、｛b_n｝は等差数列であることを示せ (3)a_1=２、a_2=4のときΣ（k=1～n）a_2k-1を求めよ (1)はa_2n＝1/2（a_2n-1＋a_2n+1）、a_2n+1＝√（a_2n＊a_2n+2） と求まったのですが、 (2)の｛b_n｝が等差数列であることを示すことができなくて困っています。(1)のa_2nを代入して隣同士の差を作ってもうまくできません。 それと(3)なのですが、a_2k-1が階差数列になると思うのですが、うまく計算できません。 答えが1/3n(n+1)(n+2)となることはわかっているのですが合わなくて・・・。 回答いただければ助かります。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等差等比級数の和の求め方
等差等比級型の問題の答えの導出の時の計算過程がわからなかったので質問させていただきます。 (2×1) + (3×2)× 5/6 + (4×3)×(5/6)^2 ＋ （5×4）×（5/6）^3 +・・・・・・ つまりシグマで表すと ∞ Σm(m-1)(5/6)^(m-2) m=2 の答えが 2/(1- 5/6)^3 もう一つ似た問題で (2^2×1) + (3^2×2)× 5/6 + (4^2×3)×(5/6)^2 ＋ （5^2×4）×（5/6）^3 +・・・・・・ シグマで表すと ∞ Σm^2(m-1)(5/6)^(m-2) m=2 の答えが (4/(1- 5/6)^3) + ((6×5/6)/(1-5/6)^4) となっていました。 微分を利用してるのかなと思い、 ∞ Σn×p^(n-1) n=1 ∞ =Σd/dp p^n n=1 =d/dp(1/(1-p)) =1/(1-p)^2 を応用しているのだと思っているのですが、単純な式だとわかるのですが、質問の式のように少し複雑になると、その式になる理由がわかりません。 もしよろしければ補足をお願いしていただけませんか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列；無限等比級数の和の応用（？）問題
お世話になっております。 当方大学生ですが、高校生レベルの問題です。 ただし、答えがあるとは限りません。 等差数列と等比数列の積でできた数列の和を求める問題はよくありますよね（下式）。 S_n=Σ_[k=1～n] { k * (1/2)^k } これは等比数列の和の公式を導くときのように公比をかけたものrS_nを考えれば、ただの等比数列の和に帰着します。 ここからがしつもんですが、では、 調和数列と等比数列の積でできた数列の和は求めることができるでしょうか（下式）？ S_n=Σ_[k=1～n] { (1/k) * (1/2)^k } またその無限級数はどうでしょう？上のS_nは収束しそうですが、 その値は求まるでしょうか？あるいは√やe, piで表せない無理数となってしまうのでしょうか？ 詳しい方、自信のある方、どうか、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列 （漸化式）
A[1]=1 A[n+1]=4A[n]+2^n (n=1,2,・・・) {A[n]}の一般項を求めたいのですが 両辺2^nで割って、B[n]=A[n]/2^(n-1)とおくと、 B[n]+1=2(B[n]+1)とおけるから特性方程式より、B[n]が2^n -1と求められました その後はA[n]＝・・・ どうすればいいのでしょうか？ 等差数列なら A[1]+ΣB[k] k=1～(n-1)という感じで求められたのですが・・・ この数列は等差数列なのか、等比数列なのか・・・ 一見等差数列のようですが、+2^nがついていてこれも定数じゃないから、等差数列ともいえないな・・・と思いました。 階差数列？とはいえないかもしれないけど、B[n]が求まったらその後の段階としてどうすればいいのでしょうか、よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等比数列の項数について
2n Σa^k というような問題なのですが k=n a^n,a^(n＋1),,,,,,,,a^2nは初項a^n,公比a,項数n＋１だから・・・と書いてあったのですが 例えば、n=2だった場合、上のΣ式のnに２を代入したら4になりますよね？ 項数はどう考えても４になると思うのですが・・・・n＋１であれば３ということになってしまいます。 どのように考えているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の等差数列の問題です 4-1
2つの数列a[n],b[n]は関係式b[n]=(1・a[1]+2・a[2]+......+n・a[n])/(1+2+....+n) (n=1,2,....)をみたしている b[n]が等差数列ならばa[n]も等差数列であることを示せ 解説は与式よりΣ[k=1→n]k・a[k]=b[n]・{n(n+1)}/2であるから n>=2において na[n]=Σ[k=1→n]k・a[k]-Σ[k=1→n-1] =n/2・{(n+1)・b[n]-(n-1)・b[n-1]} よってa[n]=1/2・{n(b[n]-b[n-1]+b[n]+b[n+1]} したがってb[n]が等差数列ならばb[n]-b[n-1]は定数で a[n](n>=2)はAn+Bの形になる(*) 所で与式によればa[1]=b[1]がいえる（b[0]はどんな値に決めてもよい) から(*)はn>=1においていえ、したがってa[n]は等差数列である とあるのですがn>=2において na[n]=Σ[k=1→n]k・a[k]-Σ[k=1→n-1]の所ですが、何故n>=2からなのですか？ｎは全部の数が当然含まれていていいと思ったのですが、駄目なんですか？駄目なら理由を知りたいです それと与式によればa[1]=b[1]がいえる（b[0]はどんな値に決めてもよい)の所でb[0]は何でどんな値でもいいのですか？そもそもb[0]なんて存在するんですか？普通b[1]とかからじゃないんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
「極限」はまだ習っていないので、何とも言えませんが、習ったときにまた考えてみたいと思います。 回答ありがとうございました！