偏微分方程式に関する問題

質問

偏微分方程式に関する以下の問いに答えなさい。

ある２次元スカラー関数φ(x,y)に対し、流速ベクトルq=(q_x,q_y)が存在し、以下の関係を満たすものとする（q_xとはqに下付きでxということ、q_yに関しても同じ、以下、下付きの文字の前には_を置く）。

ベクトルq=-β(∂φ/∂x, ∂φ/∂y)　　　　　　(a)

さらにスカラーφの時間変化率∂φ/∂tについて、以下のバランス式が成立しているものとする。

-α(∂φ/∂t)=((∂q_x)/∂x)+((∂q_y)/∂y) (b)

ただし、x、yは２次元直交（デカルト）座標系、tは時間、α、βは定数、とする。

(1)式(a)を(b)に代入してq_x、q_yを消去し、φを従属変数とする偏微分方程式（直交座標系使用）を導け。

(2)上記偏微分方程式で右辺項を０とした方程式は、特に何と呼ばれるか。

(3)上記(2)の場合に相当する数物理学現象を１つ示せ。

(4)φ=X(x)Y(y)と解の形を仮定し、上記(2)の偏微分方程式に代入し、X(x)、Y(y)それぞれに対する常微分方程式を導け。

最初の(1)問目から躓いています・・・

(a)式より、q_x=-β(∂φ/∂x)、q_y=-β(∂φ/∂y)となり、これを(b)式に代入しました。計算していくと、
α(∂φ/∂t)=β(((∂^2)φ/∂x^2)+((∂^2)φ/∂y^2))となりました。
答えはこんな感じでいいんですか？
それとも、さらに変形するべきなのか・・・

そして、(2)問目です。
まず、名前についてなんですが、斉次方程式（同次方程式）でいいんですか？
それとも、放物型とか双曲型とか楕円型とかそのようなことを書いたらいいのか…。
候補としては、一瞬Laplace方程式かなって思ったり・・・
個人的には斉次方程式かなと思うのですが・・・

そして、０にするというのもいまいちわかっていません。
実際(1)の答えがよく求まっていないので、どこを０にしたらいいのか
微妙というのもあるのですが…。
個人的には、α=0と置くのかなとも思ったのですが・・・
分からなくなってきました・・・

(3)(4)についても何か教えていただけると嬉しいです。

特に(1)(2)の質問お願いします。

あと、できれば(3)も・・・

問題数が多く、大変申し訳なく思うのですが、何かヒントだけでもいただけると嬉しいです。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

(1) はそれで良いですよ。

(2) は Laplace方程式ですね。
本かノートを見たらすぐにわかると思いますが…。
斉次方程式でも意味は正しいですが、
あまりに範囲が広すぎて、問題の正解にはなりません。

> そして、０にするというのもいまいちわかっていません。
> 実際(1)の答えがよく求まっていないので、どこを０にしたらいいのか
> 微妙というのもあるのですが…。

(b)の式で0と置くのです。
右辺の変形は(1)と同様なので。

β(((∂^2)φ/∂x^2)+((∂^2)φ/∂y^2)) = 0

になりますね。

しかし問題の書き方自体が曖昧だと思います。

(3) 問題の真意が掴みかねるます。
2次元の真空中の静電場ポテンシャル、とかでしょうかね？
2次元の定常流、とかだと、そのまますぎるような気もするし。
しかし「現象」答えなければなりませんが、
特定の「現象」は、特定の境界条件を与えた上で、
方程式を解いたものから得られるものなので、
出題者の意図がよくわかりません。
授業のノートを見れば、何を答えて欲しいのか書いてあるかも。

(4) β(((∂^2)φ/∂x^2)+((∂^2)φ/∂y^2)) = 0
に、φ=X(x)Y(y) を代入して、X(x)Y(y) で両辺を割ると、

X''(x)/X(x) = - Y''(y)/Y(y)

が得られます。右辺は x を含んでいないので、これは x を変数と見たときに定数になります。
また左辺は y を含んでいないので、y を変数と見たときに定数です。
それが等しいので、これは x , y のどちらを変数と見ても定数です。
すなわち、

X''(x)/X(x) = - Y''(y)/Y(y) = C

すなわち、

X''(x) = C X(x)
Y''(y) = - C Y(y)

あとはこれらの常微分方程式を解けば良いです。

お礼

(2)はLaplace方程式なんですね(^^;)
0の置き方についても参考になりました！！
偏微分方程式苦手なので、その名前とか、0の置き方とか、本当に迷って
困っていました。。。

(3)については、驚きました。
現象とは、特定の境界条件を与えた上で、方程式を解いたものなのですね。
初めて知りました。
確かにそれではこの問題、かなり曖昧で、解きにくいわけです。。。
実はこの問題、とある大学院の院試問題の過去問で、過去問を中心に
勉強していて、困っていた問題なんです。
ですから、ノートとかはなく、出題者の意図っていうのも、非常に
分かりにくいんですよね。。。
本当に助かりました。
挙げてもらった例の偏微分、もう１度しっかり勉強してみようと思います。。。

(4)の問題も、詳しく教えていただき、ありがとうございます。
かなり分かりやかったです。
常微分方程式を導けということですから、多分教えていただいたところまで
書けていれば、良いのではないかなと思っています。
他の問題でも似たような問題があり、そちらの方では一般解も求めてみました。
この問題の一般解も、問題にはないですが、これから求めてみようと
思います。

本当に詳しく丁寧な説明、ありがとうございました。

勉強を進めていく上で、かなり助けになりました。

本当に、本当にありがとうございました。

ここで教えていただいたことをもとに、偏微分方程式の名前とか、
解き方とか、さらに勉強に励みます！！