放物線と直線

質問

どうしても理解できません。教えて下さい。
問）曲線y=x^2-4x+5…(1)と直線y=mx+m-6…(2)が異なる２点Ｐ、Ｑで交わっている時、次の問いに答えよ。

・点Ａを曲線(1)上にとり、Ａを通りｙ軸に平行な直線と直線(2)との交点をＢとする。点ＡがＰからＱまで動くとき、線分ＡＢの長さが最大になる点Ａの座標（α、β）を求めよ。

解）点Ｐ、Ｑのｘ座標をそれぞれｐ、ｑとする。ｐ＜ｑとしても一般性は失われない。ｐ≦ｘ≦ｑにおいて
x^2-4x+5-(mx+m-6)=(x-p)(x-q)≦0…※１
よって、
x^2-4x+≦mx+m-6
この時、点Ａのｘ座標をｔとおくと
ＡＢ＝mt+m-6-(t^2-4t+5)
＝-{t-(m+4)/2}+m^2/4+3m-7…※２
ゆえに、
t=(m+4)/2の時線分ＡＢの長さは最大となり…※３
α=(m+4)/2=m/2+2…※４
β=t^2-4t+5={(m+4)/2-2}^2+1=m^2/4+1
したがって。点Ａの座標は(m/2+2,m^2/4+1)

※１．意味がわかりません。何故=(x-p)(x-q)になるのですか？
　また、何故≦0になるのですか？
※２．これは無理やり因数分解したという事ですよね？
※３．何故このようなるのですか？
※４．（ｍ＋４）／２のままではいけないのですか？

以上の質問を解かり易く教えていただける方お願い致します。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

※１．

> 何故=(x-p)(x-q)になるのですか？

交点の座標は x^2-4x+5 = (mx+m-6) の方程式を満たす x で、それは二つあり解答では p,q とおいています。
方程式の右辺を左辺に移項すると、x^2-4x+5-(mx+m-6)=0 ですね。
これは二次方程式ですから、その解が x = p,q なら、左辺を因数分解して (x-q)(x-p) になるはずですね。
故に、x^2-4x+5-(mx+m-6) = (x-q)(x-p) です。

> 何故≦0になるのですか？

f(x) = (x-q)(x-p) とおくと、f(p)=f(q)=0 になるわけで、
y = f(x) のグラフを書くと、x軸との交点は、x=q,p です。
グラフは下に凸な放物線ですから、ｐ＜ｑとすればｐ≦ｘ≦ｑにおいてf(x) ≦ 0 になることはグラフから明らかです。

別の説明をすると、ｐ≦ｘでは 0≦(x-p) 、ｘ≦ｑ では (x-q)≦0 ですから、この二つを満たす x の領域では 正の数と負の数の掛け算が負になることから、(x-p)(x-q) ≦ 0 になるわけです。

※２．

因数分解ではなくて平方完成といいます。
mt+m-6-(t^2-4t+5) = - t^2 + (4+m) t - 11
ですよね。
-(t-a)^2 = -t^2 + 2at - a^2 より、2a = 4+m とおくと、
-(t-(4+m)/2)^2 = - t^2 + (4+m) t - [(4+m)/2]^2 になります。
移項すると、-t^2 + (4+m) t = -(t-(4+m)/2)^2 + [(4+m)/2]^2
これを上の式の、右辺第1項+第2項に代入すると、
-(t-(4+m)/2)^2 + [(4+m)/2]^2 - 11
= -(t-(4+m)/2)^2 + m^2/4 + 2m - 7
が得られます。

※３

- (t - a)^2 + b の形の式になっています。
- (t-a)^2 ≦ 0 ですから、この最大値は 0 です。
これが最大のときに、-(t-a)^2 + b は最大になりますよね。

※４

(m+4)/2 のままでも正しいわけですが、
m/2 + 2 にしたほうがより簡単な形なので、
解答としては好ましいわけです。

お礼

因数分解ではなく平方完成というんですね。
解かり易いご説明ありがとうございました。

回答No.2

chomsky123

見るからに、図を描いてない。式の意味も理解していない。解けるわけが無い。
(1)y=（x^2）-4x+5=［(x-2)^2］+1、頂点(2,1)
(2)y=mx+m-6、、y=m(x+1)-6、、点（-1,-6)を通り、傾きmの直線の意味。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Q(q,?)
　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　　　　　　　　　　　・　・
　　　　　　　・　　　　　　　・　・
　　　　　　　　　　　　　　B　　
　　　　　　　　・　　　　・　　・
　　　　　　　　　　　　・　　
　　　　　　　　　・　・　　 A
　　　　　　　　　　P(p,?)・
　　　　　　　　　・　　・
　　　　　　　　・　　　(2,1)
　　　　　　　・（-1,-6)

>>何故(x-p)(x-q)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2)の交点のx座標はp,q
x^2-4x+5=(mx+m-6)の解がp,q
x^2-4x+5-(mx+m-6)=0の解がp,q
ならば、(x-p)(x-q)=0となるのは当然であろう。
すなはち、x^2-4x+5-(mx+m-6)=(x-p)(x-q)と因数分解できる。

>>何故≦0
図を見れば、x^2-4x+5が下、(mx+m-6)が上。
x^2-4x+5-(mx+m-6)=(x-p)(x-q)≦0
しかし、此の記述は必要とは思われない。

>>無理やり因数分解
上記の式、x^2-4x+5-(mx+m-6)が因数分解可能を示唆している。
問題とは関係ないが、
p^2-4p+5-(mp+m-6)=0,,,
q^2-4q+5-(mq+m-6)=0
(p-q)(p+q)-4(p-q)-m(p-q)=0,,,
(p+q)-4-m=0,,,
*(p+q)=m+4
(p^2+q^2)-4(p+q)-m(p+q)-2m+22=0,,,
{(m+4)^2}-2pq-{(m+4)^2}-2m+22=0
-2pq-2m+22=0,,,
*pq=11-m
**x^2-4x+5-(mx+m-6)=x^2-(4+m)x+(11-m)=x^2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)

ＡＢ＝mt+m-6-(t^2-4t+5)
=-t^2+(m+4)+(m-11)
=-{t-(m+4)/2}+{{(m+4)^2}/4}+(m-11)
=-{t-(m+4)/2}+(m^2/4)+3m-7

t=(m+4)/2の時線分ＡＢの長さは最大となり
>>何故このように、
二次関数が下に凸の場合には、頂点がMAX。
尚上記の変形から、(m+4)/2は、PとQの中点。

α=(m+4)/2=(m/2)+2
>>(m+4)/2のままでは
此のままの方が良い。βの算出のためかな？、そのようだ。

β=t^2-4t+5
=((t-2)^2)+1=((m/2)^2)+1　算出し易いが些事。
点Ａの座標は((m/2)+2,(m^2/4)+1)

お礼

グラフまで書いていただきありがとうございます。
理解できました。