巡回置換

質問

任意の「n文字の置換」σに対して、σ^(n!)=eとなることは、どうやったら証明できるんでしょうか？(n!=1,2,…,n)
やり方など、アドバイスを頂けたら嬉しいです。
宜しくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

σ≠eとし、置換の列、
σ、σ^2、σ^3、・・・
を考える。
これらがすべて異なるとすると、無限個のｎ文字の置換ができてしまう
ので、どれかは等しい：σ^i＝σ^j（i＜j）
この両辺にσの逆の置換をi回施すと、e＝σ^(j-i)
すなわち、上の置換の列でσ^k＝eとなるkがある。
kはそのような最小のものとする。
すると上の置換の列は、
σ、σ^2、・・・、σ^(k-1)、e
という置換を繰り返すことになる。
すなわち、σの積からできる置換は、
σ、σ^2、・・・、σ^(k-1)、e
のk個だけである。
T＝{σ、σ^2、・・・、σ^(k-1)、e}
とおく。

ここでｎ文字の置換全体の集合をSnと書き、二つのτ1,τ2∈Snに対し
て、τ1＝σ^iτ2を満たすi＝0,1,2,…,k-1が存在するとき、τ1～τ2
という関係にあるとする。この関係「～」はSnにおける同値関係になっ
ている。
そして、この同値関係「～」によってSnを分類すると、
Sn＝T∪(τ1T)∪…∪(τsT)
のようになり、どの２つも重なりあわず、どの類も元の個数がk個とな
るように分割できる。
両辺の元の個数を考えると、
n！＝k＋k＋…＋k＝(s＋1)k
となり、kはn！の約数であることが分かる。
よって、n！/kは整数である。
したがって、σ^(n！)＝(σ^k)^(n！/k)＝e^(n！/k)＝eとなる。
（多少、細かいところは省略しています。）

一般的な話として、有限群においては、どの元も群の位数回だけ掛ける
と単位元になります。ラグランジュの定理という部分群の位数はもとの
群の位数の約数であるという定理があり、これによって証明されます。
証明法は上のように群全体を同値類別することによりできます。

上で書いた証明でも、置換という性質は使っていなくて、単にSnが有限
群であるという性質だけを使っています。

お礼

丁寧なアドバイスありがとうございました！
一応、理解はできたと思うので、後は自分で頑張ってみようと思います。

ありがとうございました。