巡回置換

質問

任意の「n文字の置換」σに対して、σ^(n!)=eとなることは、どうやったら証明できるんでしょうか？(n!=1,2,…,n)
やり方など、アドバイスを頂けたら嬉しいです。
宜しくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

σ≠eとし、置換の列、
σ、σ^2、σ^3、・・・
を考える。
これらがすべて異なるとすると、無限個のｎ文字の置換ができてしまう
ので、どれかは等しい：σ^i＝σ^j（i＜j）
この両辺にσの逆の置換をi回施すと、e＝σ^(j-i)
すなわち、上の置換の列でσ^k＝eとなるkがある。
kはそのような最小のものとする。
すると上の置換の列は、
σ、σ^2、・・・、σ^(k-1)、e
という置換を繰り返すことになる。
すなわち、σの積からできる置換は、
σ、σ^2、・・・、σ^(k-1)、e
のk個だけである。
T＝{σ、σ^2、・・・、σ^(k-1)、e}
とおく。

ここでｎ文字の置換全体の集合をSnと書き、二つのτ1,τ2∈Snに対し
て、τ1＝σ^iτ2を満たすi＝0,1,2,…,k-1が存在するとき、τ1～τ2
という関係にあるとする。この関係「～」はSnにおける同値関係になっ
ている。
そして、この同値関係「～」によってSnを分類すると、
Sn＝T∪(τ1T)∪…∪(τsT)
のようになり、どの２つも重なりあわず、どの類も元の個数がk個とな
るように分割できる。
両辺の元の個数を考えると、
n！＝k＋k＋…＋k＝(s＋1)k
となり、kはn！の約数であることが分かる。
よって、n！/kは整数である。
したがって、σ^(n！)＝(σ^k)^(n！/k)＝e^(n！/k)＝eとなる。
（多少、細かいところは省略しています。）

一般的な話として、有限群においては、どの元も群の位数回だけ掛ける
と単位元になります。ラグランジュの定理という部分群の位数はもとの
群の位数の約数であるという定理があり、これによって証明されます。
証明法は上のように群全体を同値類別することによりできます。

上で書いた証明でも、置換という性質は使っていなくて、単にSnが有限
群であるという性質だけを使っています。

お礼

丁寧なアドバイスありがとうございました！
一応、理解はできたと思うので、後は自分で頑張ってみようと思います。

ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

n 次置換群 S_n の位数は n！
σ ∈ S_n の位数 k は |S_n| = n！の約数だから σ^(n！) = e

置換群だけでする場合には、
σを巡回置換の積τ_1・τ_2…τ_u 、各τは共通要素を持たない巡回置換に分解できることを利用すれば簡単

お礼

回答ありがとうございます！
参考にさせて頂きます。ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

>(n!=1,2,…,n)
ではなくて，n!=1・2・…・n だというのはともかく．

話を簡単にするために
「任意の n 文字」を 1 から n の自然数で表します．
巡回置換だけの世界で考えると。。。

一つの文字 i に注目します．
σ(i)=i だとすれば
σ^{n!} (i) = σ・・・σ(i) （ n! 個の σ の合成）
なので σ^{n!}=i です．
そこでσ(i)はiではないとします．

次に，σ^{2}(i) を考えます．
もし，σ^{2}(i) = i だとしたら
σ^{n!} (i) = σ^{2}・・・σ^{2} (i) （ n!/2 個の σ^{2} の合成）
なので，σ^{n!} (i) = i です．
そこで，σ^{2}(i) が i ではないとします．
このとき，σ^{2}(i) は i でも σ(i) でもありません．
もし，σ^2(i) = σ(i)とすると σ(i)=i となって矛盾です．
ここで，σ^{2}(i)の候補がn-2通りになっていることに注意です．

次に σ^{3}(i) を考えます．
σ^{3}(i)=iだとすれば，同様に σ^{n!} (i) = i です
また，同様にσ^{3}(i)の値の可能性は
n-3 通りしかありません．

こんな風に順番にやっていけば，結局
合成を繰り返すごとに，σ^{k}(i)の値は
i でなければ可能性が減っていきます．
ずっと生き残ったとしても最後は σ^{n}(i) = i になります．
途中の k で σ^{k}(i)=i になっているかもしれません．

つまり，i に対して n 以下の自然数 k(i) が存在して
σ^{k(i)} (i) = i
とできます．

ここで n! は n以下のすべての自然数を約数にもつことに注意すれば
1からnまでの任意の自然数 k に対して
ある自然数 N (n>=N)があるので
σ^{n!}(k) = σ^N・・・σ^N(k) (n!/N個の合成)
= k
よって，σ^{n!} = e です．

一般的には，群論の一般論の初歩的なもの事項を
組み合わせるとすっきりはします．
＃有限群の部分群の位数とか元の位数とかの議論です．

お礼

回答ありがとうございました！
一応、理解はできたと思うので、後は自分でやってみようと思います。
ありがとうございました。