巡回置換

質問

任意の「n文字の置換」σに対して、σ^(n!)=eとなることは、どうやったら証明できるんでしょうか？(n!=1,2,…,n)
やり方など、アドバイスを頂けたら嬉しいです。
宜しくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

>(n!=1,2,…,n)
ではなくて，n!=1・2・…・n だというのはともかく．

話を簡単にするために
「任意の n 文字」を 1 から n の自然数で表します．
巡回置換だけの世界で考えると。。。

一つの文字 i に注目します．
σ(i)=i だとすれば
σ^{n!} (i) = σ・・・σ(i) （ n! 個の σ の合成）
なので σ^{n!}=i です．
そこでσ(i)はiではないとします．

次に，σ^{2}(i) を考えます．
もし，σ^{2}(i) = i だとしたら
σ^{n!} (i) = σ^{2}・・・σ^{2} (i) （ n!/2 個の σ^{2} の合成）
なので，σ^{n!} (i) = i です．
そこで，σ^{2}(i) が i ではないとします．
このとき，σ^{2}(i) は i でも σ(i) でもありません．
もし，σ^2(i) = σ(i)とすると σ(i)=i となって矛盾です．
ここで，σ^{2}(i)の候補がn-2通りになっていることに注意です．

次に σ^{3}(i) を考えます．
σ^{3}(i)=iだとすれば，同様に σ^{n!} (i) = i です
また，同様にσ^{3}(i)の値の可能性は
n-3 通りしかありません．

こんな風に順番にやっていけば，結局
合成を繰り返すごとに，σ^{k}(i)の値は
i でなければ可能性が減っていきます．
ずっと生き残ったとしても最後は σ^{n}(i) = i になります．
途中の k で σ^{k}(i)=i になっているかもしれません．

つまり，i に対して n 以下の自然数 k(i) が存在して
σ^{k(i)} (i) = i
とできます．

ここで n! は n以下のすべての自然数を約数にもつことに注意すれば
1からnまでの任意の自然数 k に対して
ある自然数 N (n>=N)があるので
σ^{n!}(k) = σ^N・・・σ^N(k) (n!/N個の合成)
= k
よって，σ^{n!} = e です．

一般的には，群論の一般論の初歩的なもの事項を
組み合わせるとすっきりはします．
＃有限群の部分群の位数とか元の位数とかの議論です．

お礼

回答ありがとうございました！
一応、理解はできたと思うので、後は自分でやってみようと思います。
ありがとうございました。