数列の和の問題

質問

この問題が解けません。どなたか考え方も含めてお願いします。

一般項が次の式で表される数列の初項から第ｎ項までの和を求めよ。

４ｎ乗－３ｎ乗／５ｎ乗
（５のｎ乗分の４のｎ乗マイナス３のｎ乗）

回答No.2

kumagoro- · ベストアンサー

与式を変形して、
(4^n - 3^n) / 5^n = (4/5)^n - (3/5)^n

よって和は、
n
Σ((4/5)^k - (3/5)^k)
k=1

等比数列の和の公式を使って、
= ((4/5)(1 - (4/5)^n) / (1 - 4/5)) - ((3/5)(1 - (3/5)^n) / (1 - 3/5))

= 4(1 - (4/5)^n) - (3/2)(1 - (3/5)^n)

= 5/2 - 4(4/5)^n + (3/2)(3/5)^n

となります。

お礼

回答ありがとうございました。
計算が超ハードで、やっと理解できました。

回答No.3

X-Terra

Sn = Σ(4^n - 3^n)/(5^n) = Σ{ (4/5)^n - (3/5)^n }
ここで、Σの「線形性」の原則を利用して、
Sn = Σ(4/5)^n - Σ(3/5)^n
となりますので、
初項4/5、公比4/5の等比数列の和
から
初項3/5、公比3/5の等比数列の和
を引き算することになります。

あとは、等比数列の和の式に素直に代入すれば、求める解が決まります。

「線形性」というのは、結構重要な概念ですので、覚えておくと良いでしょう。
＃線形性：f(a+b) <=> f(a) + f(b)

お礼

回答ありがとうございました。
線形生は初めて聞いたので覚えておきます。

回答No.1

noname#181872

式の確認です。
　　　　n　n
　　　4　-3
a　= ------でよろしいでしょうか？
　n　　　n
　　　　5

これでよければ

Sn=(4-3)/5+(4^2-3^2)/5^2+…+(4^n-3^n)/5^n
なので、これは
{4/5+4^2/5^2+…+4^n/5^n}-{3/5+3^2/5^2+…+3^n/5^n}
ですよね。あとはできると思います。

お礼

回答ありがとうございました。
式はそれであってます。
＞{4/5+4^2/5^2+…+4^n/5^n}-{3/5+3^2/5^2+…+3^n/5^n}
ここまでは理解できたんですが、そこからもわかりません。すいません。