高校 数学の問題です【数列】

質問

数列{αｎ}が５，１１，２１，３５，５３・・・　のとき、一般項αｎを求めよ

数列{αｎ}の初項から第ｎ項までの和ＳｎがＳｎ＝－２ｎ乗＋２ｎ２乗となるとき、一般項αｎを求めよ

回答No.5

edifu

訂正
Ａｎ＝Ａ1＋∑（Ｋ＝1　n-1) (4k+2)

でした。はい減点。

回答No.4

edifu

数列｛Ａn｝公差は6、10、14、18・・・　　この公差を数列とみなし、｛Ｂｎ｝とします
｛Ｂｎ｝初項　6　　公差　4　　なので　　Ｂｎ＝4ｎ＋2
ｎ≧2のとき　←これ忘れると減点対象です
Ａｎ＝Ａ1＋∑（ｋ＝1　ｎ-1）　（4ｎ＋2）より
Ａｎ＝2ｎ＾2＋3
ｎ＝1のとき　これが成り立つ
よって　Ａｎ＝2ｎ＾2＋3

Ｓ1＝Ａ1＝0
Ｓｎ－Ｓｎ-1＝Ａｎ
あとはがんばってください。指数計算ができるなら、ずばずば消えてくれるはずですよ＾＾
Ａ1が本当に0になるか確かめて
Ａｎ＝・・・にしてください＾＾

回答No.3

alice_44

ひとつめ：
α[n] = 5(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)
　　　　+ 11(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)/(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)
　　　　+ 21(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)/(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)
　　　　+ 35(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)/(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)
　　　　+ 53(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)
が満たしますね。

ふたつめ：
α[n] = S[n] - S[n-1] が成り立つのは、n≧2 のときだけです。
α[1] = S[1] を忘れると、失敗します。

回答No.2

sanori

こんにちは。
「求めよ」と命令されましたので従います。

１つ目
５、１１、２１、３５、５３

各々の間を取ると、
６、１０、１４、１８
という等差数列になります。

等差数列というのは一種の一次関数です。
これは、私が学校で習ったことではないのですが、
間を取ったときに一次関数となるとき、元の数列は二次関数になります。
つまり
αn　＝　ａｎ^2　＋　ｂｎ　＋　ｃ　・・・（あ）
です。
ｎ＝１、α1＝５　を代入
　　ａ　＋　ｂ　＋　ｃ　＝　５　・・・（か）
ｎ＝２、α2＝１１　を代入
　　４ａ　＋　２ｂ　＋　ｃ　＝　１１　・・・（き）
ｎ＝３、α3＝２１　を代入
　　９ａ　＋　３ｂ　＋　ｃ　＝　２１　・・・（く）

（き）－（か）より
３ａ　＋　ｂ　＝　６　　・・・（き’）
（く）－（か）より
８ａ　＋　２ｂ　＝　１６　⇒　４ａ　＋　ｂ　＝　８　・・・（く’）
（く’）－（き’）より
ａ　＝　２
これを（き’）に代入して
３×２　＋　ｂ　＝　６
ｂ　＝　０

ａ＝２、ｂ＝０　を（か）に代入して
２　＋　０　＋　ｃ　＝　５
ｃ　＝　３

よって（あ）は、
αn　＝　２ｎ^2　＋　３
ためしに、ｎ＝１、２、３、・・・を代入してみると、
２×１＋３＝５、２×４＋３＝１１、２×９＋３＝２１、２×１６＋３＝３５、２×２５＋３＝５３
合いました。

２つ目。
たとえば、一般項αnがｎで終わりだとしたら、１，２，３，４，・・・（ｎ－１）、ｎ
です。
そのとき、
Ｓn　＝　１＋２＋３＋４＋５＋・・・＋（ｎ－１）＋ｎ
Ｓ(n-1)　＝　１＋２＋３＋４＋５＋・・・＋（ｎ－１）
です。
すると、Ｓn　－　Ｓ(n-1)　＝　ｎ　＝　αn　（＝一般項）　ですよね。

問題の場合は、αn＝ｎ　などという単純なものではないですが、
同じ考え方でできます。
つまり
αn　＝　Ｓn　－　Ｓ(n-1)
です。
あとは、ご自分で。

回答No.1

さゆみ（@sayumi0570）

１、

　　５，１１、２１、３５、５３
　　　６，１０，１４、１８

階差数列が、　６＋４（ｎ－１）＝４ｎ＋２

　　　５＋Σ（１→ｎ－１）４ｋ＋２＝２ｎ＾２＋３

　　　　An＝２ｎ＾２＋３