n乗根の定義

質問

a^(1/n)の定義がいまいちわかりません。重要ではないと思いますが教えてください。

a^(1/n)が
a>0の時　　　aの正のn乗根
a<0の時　　　aの実数のn乗根（nは奇数）

a=0の時はさすがにわかりますが、そのほかの意味がわかりません。できるだけ簡単に具体例などを挙げて教えていただけると助かります。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

a^(1/n) = b
これの解釈は分かりますよね？
b は n 回掛けたら a になる数値・・・ということ
(例)　8^(1/3) = (2*2*2)^(1/3) = 2
もっと詳しく書くと　8^(1/3) = (2*2*2)^(1/3) = (2^3)^(1/3) =2^{3*(1/3)} = 2
{ }内の計算方法は指数法則を参照してください

a<0の時・・・(-8)^(1/3)
上で言ったように n 回掛けて -8 になるのですから
n は奇数でないとダメですよね？(正でも負でも偶数回掛けたら(虚数というのがあるので絶対ではないですけど)正の数になりますので）
(例)　(-8)^(1/3) = {(-2)*(-2)*(-2)}^(1/3) = -2

a>0の時・・・8^(1/3)・・16^(1/4)
まず n が偶数のとき
こちらの場合a<0のときにも言ったように正の数と負の数両方の可能性が上げられます
ですが n が奇数の場合
仮に負とした場合、奇数回掛けると負になってしまうのでa>0と定義しているのに矛盾してしまいますよね？

ですので　『a>0(nは奇数)』のときは答えは正の数のみとなります
・・・質問文（ｎは奇数)は上の文にもかかってるのかな？
『a>0（ｎは偶数)』のときは ± になると思うのですが・・・
(例)　8^(1/3) = (2*2*2)^(1/3) = 2
16^(1/4) =(2*2*2*2)^(1/4) = 2
または16^(1/4) = {(-2)*(-2)*(-2)*(-2)}^(1/4) = -2

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/n_root1.html

補足

ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

＃２です

もしかして、次のようなことかなと思い書きます。
ルートは表記可能ですが、他はダメですので。
ルートも表記しません。
ーーーー
４　の平方根は±２、　　　４＾（1/2）＝２
１６の平方根は±４、　　１６＾（1/2）＝４
８１の平方根は±９、　　８１＾（1/2）＝９

どう考えても、これは知ってるとしか思えません。

１６の４乗根は±２、　　　１６＾（1/４）＝２　　
８１の４乗根は±３、　　　８１＾（1/４）＝３

８　の３乗根は２のみ
６４の３乗根は４のみ

３２の５乗根は２のみ
２４３の５乗根は３のみ

並べて見たののは、偶数の時２個、奇数の時１個・・・
これは貴殿が質問された、奇関数・偶関数の話と一致するはずです。
奇関数・偶関数でもっとも使用されるのは、積分の時ですが、
今調べたら、回答されていました。
ーーーーー
＃２では累乗根と指数乗を同一視した書き方をした事をお詫びします。

回答No.2

kkkk2222

dandy_lion様

質問文が何を訊いているのか、今一わからないので困ります。判り切った事を書いていたら無視して下さい。

また累乗根を表記する記号がないので、益々困ります。指数表記するしかありません。

４＾（１/２）＝２
５＾（１/２）　このままです
８＾（１/２）＝２√２
こんな話ではなさそうです。
ーーーー
まず、ｎ乗根を実数に限定します。

４＾（１/２）＝２　　　　（高等学校では、こう定義されます）
１０２４＾（１/１０）＝２　　　　　　　　　　　　　　

たぶん　次がＭＡＩＮかと思います。

（－６４）＾（１/６）　　　　　（解なし）
（－３２）＾（１/５）＝－２
（－１６）＾（１/４）　　　　　（解なし）
（－８）＾（１/３）＝ー２
（－４）＾（１/２）　　　　　　（解なし）
（－２）＾（１/１）＝ー２

結論から言うと、この負の数のｎ乗根（累乗根）の話は、累乗根の最初に出てくるだけで、ご指摘通り、その後はまずでてきません。理由は、これらが指数関数の導入に使用される事が、ＭＡＩＮ　ＳＴＲＥＡＭ　だからです。負の数の指数関数は振動するので（ちょと違いますが、まあ）扱われません。
ーーーーーーーーー
累乗根を複素数まで広げると、話は全く違ってきます。今の教育課程では、複素数平面（ガウス平面）は扱わないのでもしこの話ならば、またお尋ね下さい。

回答No.1

mgsinx

a^(1/n)とは、n乗してaになる数で、aのn乗根と言います。
例えば
(-2)^9=512なので、512の9乗根は-2です。
もう一つの例として
3^4=81、また(-3)^4=81も成り立つので、81の4乗根は±3になります。
a<0のときについて、偶数乗して負の値になる実数は存在しないので、nは奇数に限定されるということです。