微分方程式の問題

質問

xy"-y'＋4x^3y=0 解：y=Asinx^2+Bcosx^2
の解き方が全くわかりません。
解の型から、特性方程式を使って解いていく予想は立ちましたが、
それ以上考えてもわかりませんでした。どなたか教えてください。

回答No.5

info22

A#2～A#4です。
補充します。
t^(3/2){f"(t)+f(t)}=0
この解は
t=0 or z"+z=0 ここで z=f(t)
後半の解は既に解決していると思います。
前者のt=x^2 =0,からx=0(y軸に一致)です。
これを元の方程式に代入すると
y'(0)=0が出てきます。
これは直線x=0（y軸）のx=0における傾斜y'(0)が±∞と矛盾します。
従ってx=0が解として不適という事です。

回答No.4

info22

4x^3(f"+f)=0
4t√t(y"+y)=0,y=y(t)
は単なる元の微分方程式の変形しただけの微分方程式です。
これは
t=0 or y"+y=0(y=y(t))
ということになりますが
t=0は微分方程式の解としては意味が有りません。
したがって
y"+y=0(y=y(t))から導出される解yが元の微分方程式の解となります。
それゆえy"+y=0の特性方程式を考えれば良いことになります。
y=y(t)のtを元のxに戻したy=y(x^2)が解になることは言うまでもないですね。

回答No.3

info22

計算経過が示して有りませんがy'の計算を間違えて見えるようで、従ってy"の計算も間違っていますね。
y'=f'では有りませんよ。
y'=dy/dx=df/dt・dt/dx=2xf'=2f'√tとなります。
同様に正しいy'を使ってy"を計算してみてください。
y"=2f'+4tf"
正しく出ればA#2のようになります。

お礼

ご指摘のとおりやってみたところ解けました。
しかし、
4x^3(f"+f)
について質問なのですが、
定数ではなく、各項に4x^3がついているのに、特性方程式を適用できるのはなぜなんでしょう。

回答No.2

info22

解の方針として
y=f(t),t=x^2とおいてみて下さい。
方程式の左辺＝2xf'+4x^3f"-2xf'+4x^3f＝4x^3(f"+f)
f"+f=0　（特性方程式s^2+1=0）
これからy=f(t)=Asin(t)+Bcos(t)が出てきます。
tをxに戻せば良いですね。
元の方程式をじっくり見ていると正弦関数の性質とt=x^2の置き換えが元になっている問題だと見えてくるのかもしれませんね。

お礼

回答ありがとうございます。
y=f(t),t=x^2
として変換すると、
2xf'+4x^3f"-2xf'+4x^3f
にはならず、
√tf"-f'+4t√tf=0となってしまいます。
どこから間違ってしまったのでしょうか。

回答No.1

noname#101087

>特性方程式を使って解いていく予想は立ちました....

(解がわかっているから言えるのですが....)変数変換 x^2=t を施すと「特性方程式」を使える式になりそうです。

お礼

回答ありがとうございます。
その方法でやってみます