二次関数の問題

質問

ｆ（ｘ）＝ｘ＾2－ｋｘ－ｋに対して、ｆ（ｘ）＜０を満たす整数ｘの値が４つだけあるような自然数ｋの値を求めよ

ｙ＝ｆ（ｘ）とｘ軸との交点間の距離を出して、その距離が４より大きく６以下としてｋを求めると、
答えがｋ＝3、4となったのですが回答にはｋ＝3と書いてありました
私の解き方が根本から間違っていたのでしょうか？

回答No.6

ht1914 · ベストアンサー

ｋ＝３、４と２つ解が求まったという段階でグラフを書いてチェックしなかったのでしょうか。解を見る前に自分でチェックすればやり方のチェックにもなります。

いくつかの通過点を見つけるとグラフを楽に書くことが出来ます。ｋは自然数ですからｋ＞０です。
ｋ＝３の時でやってみます。ｆ（ｘ）にｋ＝３を代入して変形します。
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－３ｘ－３
＝ｘ（ｘ－３）－３
＝（ｘ＋１）（ｘ－４）＋１
です。
これは点（ー１，１）と（４，１）を通ります。間にある整数はｘ＝０，１，２，３の４つです。ｆ（０）＝ｆ（３）＝－３＜０ですからこの４つが条件を満たします。
ｋ＝４の時も同じようにしてチェックが出来ます。条件を満たす整数ｘの数は５つになってしまいます。
公式に頼っていると結果を検算してみるということが出来なくなるようですね。

これを使うと一般的にも解くことが出来ます。
ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－ｋｘ－ｋ
＝ｘ（ｘ－ｋ）－ｋ
＝（ｘ＋１）（ｘ－ｋ－１）＋１
左から順に（－１，１）、（０，－ｋ）、（ｋ、－ｋ）、（ｋ＋１，１）の４つの点を通ります。
ｋ＞０よりｙ＝ｆ（ｘ）のグラフは－１＜ｘ＜０とｋ＜ｘ＜ｋ＋１の区間でｘ軸を横切っています。条件を満たすｘの解は０、１、・・・、ｋです。解が４つということからｋ＝３が決まります。

ｋが自然数ではなくて整数という条件だとｋ＜０の範囲も探す必要があります。その場合はもっと一般的に解く必要があります。
判別式でＤ＝ｋ＾２＋４ｋ＞０がまず必要です。ｋ＞０またはｋ＜－４です。
ｋ＞０が上でやった自然数の場合です。
ｋ＜－４の場合はどうなるでしょう。
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｘ－ｋ－１）＋１
＝（ｘ＋２）（ｘ－ｋ－２）＋ｋ＋４
と変形するとｙ＝ｆ（ｘ）は左から順に（ｋ＋１，１）、（ｋ＋２，ｋ＋４）、（－２，ｋ＋４）、（－１，１）の４つの点を通ることが分かります。ｋ＋４＜０ですからｋ＋１＜ｘ＜ｋ＋２と－２＜ｘ＜－１の区間でｘじくを横切ることが分かります。条件を満たす整数ｘはｋ＋１，ｋ＋２，・・・、ー２です。４つという事からｋ＝－６と決まります。

　私は数学が専門ではありません。整数とグラフが出てくると何時もこの様に初等的に解いています。
　質問文を見ていると解の距離の公式のようなものを用いているように思いました。このカテゴリーでの質問を見ていて、公式から出発して混乱したり、沈没したりしている例が多いように感じます。

回答No.7

age_momo

質問者さんの方法で計算するなら注意が必要です。
問題は整数の数が4つと言っています。範囲を指定しているわけではありません。
質問者さんの方法で行くなら次のように考えることも出来ます。

この放物線の軸はx=k/2です。kが偶数2nなら整数nを中心にして条件に合う整数が
nだけあるいは(n-1),n,(n+1)さらにあるいは(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)・・・
つまり、必ず奇数個になります（放物線は軸に対して対称ですからn-1がokならn+1もok)
だから、条件にあう整数が4つなら自然数kは必ず奇数であることが分かります。

次に軸からの距離を考えます。2解は公式からk/2±｛√(k^2+4k)}/2ですから
どちらも{√(k^2+4k)}/2です。これが1.5より大きく2.5より小さくなればいいので

1.5 < {√(k^2+4k)}/2 < 2.5
3 < √(k^2+4k) < 5
9 < k^2+4k < 25
13 < (k+2)^2 < 29
1.61 < k < 3.39

条件にあうのは2,3ですが、偶数は不可ですからk=3です。

ついでにk=2の時の確認をして見ます。

x^2-2x-2 < 0
1-√3 < x < 1+√3
-0.73 < x < 2.73
距離は3.46開いていますが、整数解は0,1,2の3個しかありません。

回答No.5

kkkk2222

弱冠計算を省略して　数値も必要なものだけ書きます。

評価は４と５でいいはずです

４＜| αーβ| ＜５
１６＜（α＋β）＾２ー４αβ＜２５
１６＜ｋ＾２＋４ｋ＜２５

左辺と中辺より　約　２、４
中辺と右辺より　約　３，５

計算まちがいでは？
ーーーーー
y_akkie様　今日は

回答No.4

y_akkie

まず、放物線y = x^2 と直線y=k(x+1)との２つの交点のｘ座標が、x^2-kx-k=0の２つの解である事を利用します。

そして、直線y = k(x+1)は(-1,0)を通り、kは自然数である事に注意し、
またグラフを書けば、２つは必ず-1<x<0の範囲で交わる事が分かります。
また、x^2-kx-k<0から、x^2< k(x+1)が言え、これは直線が放物線の
上を通る事を示す式である事を意味します。すなわち、２つの交点のｘ座標
によって与えられる区間内に整数となるようなxの値が４つ存在する事になります。
よって、２つの交点のｘ座標をそれぞれ、α、βとすると、α<x<βの範囲に、４つの整数解を持てばよい事になります。これらの事から、α<0,1,2,3<βを満たせばよいので、、-1 < α < 0 かつ 3 < β < 4になるようなkの値を求めればよい事になります。すなわち、もう一つの交点（-1<x<0の範囲ではない方の…）が、3 < x < 4の範囲内に存在するようなkの値を定めればよいので、

3^2 < k(3+1) < (3+1)^2
9 < 4k < 16
9/4 < k < 4

より、k=3のみである事が分かります。

回答No.3

hkd9001

たびたび、ごめんなさい。
よく見たら「ｆ（ｘ）＜０を満たす…」だったのですね。うっかりしてました！

じゃ、＃１・２は　ご破算にして、もう１回！
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たとえば、ｘ軸との交点が　x=0.999,x=4.001 だった場合（最短に限りなく近いケース）、両者の距離は 3.002 になりますよね。

ところで、交点が　x=0.001 , x=4.999の場合（最長に限りなく近いケース）、両者の距離は　4.998 ですね。

ですので、「距離が３超で、５未満（３も５も　はいらない）」としてｋを求めてみてください。
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さぁ、三度目の正直、なりますかな？

補足

すいませんｋ＝2、3でやっぱりあわないです

回答No.2

hkd9001

＃１です。ごめんなさい。訂正です。
「ところで…」以下を、次のようによみかえてください。失礼しました！
--------------------------------------------
ところで、交点が　x=1.00001 , x=5.9999の場合（最長に限りなく近いケース）、両者の距離は　4.9998 ですね。

ですので、
「距離が３以上で、５未満」としてｋを求めてみてください。

補足

早速の回答ありがとうございました
ですがそれではｋ＝２、３となり答えがあわないんですが・・・

回答No.1

hkd9001

こんばんは。

たぶん、こういうことでは？
たとえば、ｘ軸との交点が　x=1,x=4 だった場合（最短のケース）、両者の距離は「３」になりますよね。
ところで、交点が　x=1.00001 , x=4.9999の場合（最長に限りなく近いケース）、両者の距離は　3.9998 ですね。

ですので、
「距離が３以上で、４未満」としてｋを求めてみてください。