２次関数

質問

y=2x^2-12x+aにおいて、y<0となるxの値の範囲に含まれる整数がちょうど７個存在する
ときの、aの範囲を求めよ。

つぎのように考えましたが、答えが違っていました。
どこにあやまりがあるか、教えてもらえるとありがたいです。
よろしくお願いします。

グラフがｘ軸と交わるx座標は、{6-√(36-2a)}/2,{6-√(36-2a)}/2
グラフがｘ軸を切り取るとき、そこに整数が７個あることの条件を
つぎのように考えました。
f(x)=2x^2-12x+aとおく。f(k)=<{6-√(36-2a)}/2<f(k+1),f(k+7)<{6+√(36-2a)}/2=<f(k+8)
となる整数kが存在するためのaの範囲をもとめる。
これから、整数k=-3,-2,-1,0,1,2が出てきて、これからaの範囲をもとめる流れを考えましたが、
aの範囲は答えとは違いました。どこが間違っているか、よろしくお願いします。
（因みに、別解として個数が７個だから、グラフがｘ軸を切り取った長さが、6と8の間になることからは
簡単に答えはでました。）

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

＞f(x)=2x^2-12x+aとおく。f(k)=<{6-√(36-2a)}/2<f(k+1),f(k+7)<{6+√(36-2a)}/2=<f(k+8)
となる整数kが存在するためのaの範囲をもとめる。

ここが間違いの原点。
f(x)＝0の2解をα、β　(β＞α)とすると、α＝3-√(36-2a)/2、β＝3＋√(36-2a)/2　なんだから、f(k)≦{6-√(36-2a)}/2<f(k+1),f(k+7)<{6+√(36-2a)}/2≦f(k+8)ではなく、-1≦3-√(36-2a)/2<0、6<{3+√(36-2a)}/2≦7　としなければならない。
大体、何で　k　なんて余計なものを持ち出すんだろう？　徒に、問題を複雑にしている。

y＝f(x)のグラフを書くと、軸がx＝3なんだから、軸をはさんで右に3個、左に3個の整数解を持てば良いんだろう。
f(7)≧0、f(6)＜0、f(-1)≧0、f(0)＜0　で終わりだろう。

わざわざ、自分で問題を複雑にしている。
君の質問は、そういう傾向が強い。もつとsimpleに考えたら？

お礼

回答ありがとうございます
全くおっしゃる通りでした。

f(7)≧0、f(6)＜0、f(-1)≧0、f(0)＜0　で終わりだろう。

これに気づかなければだめでした。

回答No.4

naniwacchi

#2です。

＞k≦{6-√(36-2a)}/2＜k+1、k+7< {6-√(36-2a)}/2=< k+8
＞となる整数kをもとめると、-3,-2,-1,0,1,2となると思うのですが、
kの範囲をどうやって求めたのでしょうか？
普通に計算すると、そのまま aの範囲が出てきますが・・・

で、まず上の不等式ですが、不等号（≦と ＜）が間違っていますね。
小さい方の不等式は、k＜ { 6-√() }/2≦ k+1　・・・(1式)
大きい方の不等式は、k+7≦ { 6-√() }/2＜ k+8　・・・(2式)

となります。
そして、(1式)の各辺に -1をかけて（不等号の向きに注意！）
-(k+1)≦ { 6-√() }/2＜ -k　・・・(1'式)

これと(2式)の和をとると
6≦ √() ＜ 8

となって、aの範囲が直接求まります。

不等号の向きを考える時点で、3≦ { 6-√() }/2＜ 4が導き出せそうですが・・・

お礼

回答ありがとうございます
(1)の式２倍、６を移項、－１をかける、２乗する。
-2k^2+12k<a=<-2x^2+8k+10となり、aが存在しなければ
ならないから、-2k^2+12k<-2x^2+8k+10　を解いて
k<5/4。同様に(2)の式も考えました。
kを求めなくとも、aの範囲が出ていることに気づいてませんでした。

回答No.3

ykskhgaki

解の最大値　x1 = 3+{√(36-2a)}/2
解の最小値　x0 = 3-{√(36-2a)}/2

x0 と x1 の間に整数が 7 個存在するので
6 ≦ x1 - x0 < 8 → 6 ≦ √(36-2a) ＜ 8

36 ≦ 36 - 2a ＜ 64
-14 ＜ a ≦ 0

２つの解の間にある（y<0となるxの値の範囲に含まれる）整数は
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

お礼

回答ありがとうございます
ykskhgakiさんのやり方がこの解法の場合
普通とる手だとはおもいますが、・・・

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞f(k)=<{6-√(36-2a)}/2<f(k+1)
真ん中の {6-√(36-2a)}/2って x座標の値（グラフとの交点）ですよね？
となると、
f({6-√(36-2a)}/2)＝ 0であって、k≦ {6-√(36-2a)}/2＜ k+1と表すべきではないでしょうか？

f(k)と f(k+1)は y座標の値、{6-√(36-2a)}/2は x座標の値・・・
ごっちゃになってしまっている感じですね。＾＾

ちなみに、
{6±√(36-2a)}/2＝ 3± 1/2*√(36-2a)ですから、
2つの交点は x＝ 3を対称とする位置にありますね。
このことを利用すれば、3≦ 1/2*√(36-2a)＜ 4と考えることができます。

お礼

回答ありがとうございます
おっしゃる通り、f()がいりませんでした。
k≦{6-√(36-2a)}/2＜k+1、k+7< {6-√(36-2a)}/2=< k+8
となる整数kをもとめると、-3,-2,-1,0,1,2となると思うのですが、
そのあとaの範囲をもとめると答えと異なります。

回答No.1

Tacosan

「f(x)=2x^2-12x+aとおく。f(k)=<{6-√(36-2a)}/2<f(k+1),f(k+7)<{6+√(36-2a)}/2=<f(k+8)となる整数kが存在するためのaの範囲をもとめる。」
の 2つの不等式は何を意味するのですか?

補足

この２つの条件があれば、y<0となる整数xが７個あるためには
グラフはkとk+1の間と、k+7とk+8の間を通ればいいのかと
おもいました。ただしkは整数。