『確率』 純粋な興味から聞きます。

質問

２０人のクラスで同じ誕生日の人間が３人いました。
珍しいなと思いつつ、確率について考えてみたのですが、

３６５の三乗・・・では全く違いますね。

さて、いくらなのでしょうか？
考えては見ましたが、私の知識では及ばないようです。
どなたか親切な方。ご教授くださいませ。

回答No.6

zk43 · ベストアンサー

ちなみに・・・

あるサイトで、n人いるときの３人以上同じ誕生日がいる確率が
計算できて、n=20とすると、0.824…％になる。

したがって、ちょうど３人同じ誕生日がいる確率は、0.824…％
より小さくならなければおかしい。

もっとも、このサイトが正しければの話。

参考URL：

http://aya.haun.org/momo/bd.htm

お礼

サイト見ました。
正直説明は理解できませんでしたが、
結果の数字は私の中で正しいと思えるものでした。

０．８５５％よりは微妙に少ないいい感じの数字と思っております。
そう思う理由は下の補足にあります。

というわけで、「0.824％」をもって私の中の最終結論とさせていただきます。
ご回答者の皆様どうもありがとうございました。

回答No.5

Ishiwara

２０人で３人なら、かなり珍しいでしょう。
アメリカの大統領の命日には「３重衝突」がありますが。

お礼

私としては数百分の１、できれば数千分の１を期待していましたが、
こういうのは直感よりも相当高い確率になるものなんですね。

その理由を考えると、２０人の集団から作れる３人の組み合わせが直感よりも相当多いことに原因がありそうです。

回答No.4

himara-hus

＃１さんの考えで、３６５日を掛けた確率０．００８５が正しいように思います。
別の考え方で行くと、
２０人をＡ１、・・・Ａ２０とすると、
Ａ１がある誕生日とすると、その誕生日に３人がそろう確率は、
１Ｘ（１９／３６５）Ｘ（１８／３６５）＝０．００２５６７になります。
それが、２０人（Ａ１・・・Ａ２０）いますから、
０．００２５６７Ｘ２０＝０．０５１３４
ただし、この中には、３人が並び替った分の回数の６倍多くカウントしていますから
０．０５１３４／６＝０．００８５６になります。
多分有っていると思います。

補足

なるほど、シンプルな解法をありがとうございます。
私なりに考えた結果、0.85に近いものの、やはりそれより小さい値になるという結論に至りました。

この解き方ですと、３人以上のケースを重複して数えている。たとえば、クラス全員同じ誕生日であるケースを２０回（？）数えているような、そんな気がしています。
より簡単な二人のケースを「ある者を基準として同じ誕生日の者がいない確率」から求めるのもその問題のためと思います。

回答No.3

zk43

１年は365日とします。

20人の人たちにA1、A2、・・・、A20と名前を付ける。
A1の誕生日は365通り、A2の誕生日は365通り、・・・
なので、誕生日の組み合わせは365^20通りある。

１月１日にちょうど３人誕生日が重なる組み合わせは、20人のうちの3
人が１月１日生まれで、残りの17人が、残りの364日にばらばらに散ら
ばる場合で、20C3×364×363×・・・×348通り。
ここに、20C3は20人から3人選ぶ組み合わせで、20×19×18/3×2×1＝
1140

他の日でも同じ組み合わせがある。

よって、20人のうちちょうど３人が同じ誕生日を持つ組み合わせは、
365×1140×364×363×・・・×348通りある。

これを、すべての組み合わせで割った、
P＝365×1140×364×363×・・・×348/365^20
が求める確率になる。

確率の基本として、求める確率＝条件に当てはまる場合／すべての場合

Pの分母・分子はめちゃめちゃ大きくて計算ができないので、
P＝1140×(364/365)×・・・×(348/365)×(1/365)×(1/365)
として、エクセルとかで計算してみてください。
意外と大きいと思います。

もっとも、この考えで合ってればの話ですが。

確率の本を見ると、２３人集まれば、同じ誕生日の組が１つでもある
確率は５０％くらいです。

補足

P＝1140×{(364/365)×・・・×(348/365)}×(1/365)×(1/365)

大括弧の中を抜かして1140×(1/365)×(1/365だけ計算すると0.855％になります。
これは第一回答者の方への補足で私が出した数字と一致します。

問題は大括弧の中ですが、力わざで計算して大体０．６５でしょうか？

となるとおおよそ最終結果は0.56％。
「千に一つ」どころか「２００に一つ」にも及ばない。
でも、ま、冷静に考えれば妥当な数字ですね。
ありがとうございました。

回答No.2

RubikCube

小学生の頃、似たような問題を本で見た記憶があります。
参考になったらよいかと思います。

同じ誕生日の人が２人の場合ですが、
『同じ誕生日の人がいない確率』を求めます。
クラスの人数が１人の場合、求める確率は、 １ です。
クラスの人数が２人の場合、求める確率は、３６４／３６５ です。
同様に、３人のときの確率は、 (３６４／３６５)×(３６３／３６５)です。
４人のときは、(３６４／３６５)×(３６３／３６５)×(３６２／３６５) です。
このように考えていって、求めたい人数までいったら、
出た確率を１から引けば『同じ誕生日の人がいる確率』が出ます。

これはあくまでも同じ誕生日の人が２人の場合です。
同じような考え方で、３人の場合も出来ると思います。

こんなに長く書いたうえに 答えを全く書いていなくてすみませんが、
『求め方』の参考になったら良いかと思います。

補足

なるほど。
１－（「同じ人がいない確率」+「同じ人が二人いる確率」）
は「同じ人が３人以上いる確率」であり、これは「３人いる確率」に近似するでしょうね。

確かに参考になりました。
しかし、当方、式を立てる能力がありません。

回答No.1

maigo

確かこうなると思います。

２０人のクラスの中で、任意の３人を選ぶ組み合わせが、
　　20Ｃ３＝（２０×１９×１８）／（３×２×１）＝１１４０通り
この選んだ任意の３人が同じ誕生日である確立は、一年を３６５日と
して、（１／３６５）＾３＝１／４８６２７１２５
　この確率の組み合わせが１１４０通りあるから確率は、
百分率の％で表すと。
　　　１／４８６２７１２５×１１４０×１００≒０．００２３４４％
　となると思います。

補足

なるほど、３人の組み合わせ数をかけるということは、
求めるのは「３人の人間の誕生日が同じである確率」でよいことになるのですね。
うーん、でもそれは(1/365)^2ではないでしょうか？
日付はいつでも良い訳ですから。（×365日する。あるいは、一人の誕生日を固定して、他の二人がそれと同じである確率を考える）

とすると、０．８５％。
１％弱ですか？
むむ？これはちょっと直感的に違うような・・・いや違って欲しい。
興醒めの数字です。