後継者写像は後継者対応では?

質問

識者の皆様、よろしくお願い致します。

『A×Bの部分集合をfとし、AからBへの対応と呼び、対応f:A→Bと書く。』
ですよね。よってA,Bが空集合でも対応は定義できる。
そして、∀A'⊂A,f(A')⊂BをA'のfによる像と呼ぶ。
ですよね。(つまり、像は厳密には常にBの部分集合)
そして、
『対応f:A→Bが特に「x∈A⇒f({x}):単集合」は真　となる時、この対応fをAからBへの写像と呼ぶ。』

ペアノの公理で
集合Aはφを含む。
∀x∈Aならばf(x):=x∪{x}∈Aとなるような写像fを後継者写像と呼ぶ。
となってますが、この時のf(x)はx≠φなら単集合になってませんよね。
だからこのfは写像ではなく、対応となると思うのですが
どうしてどの本も後継者対応と呼ばないのでしょうか?

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>『対応f:A→Bが特に「x∈A⇒f({x}):単集合」は真　となる時、この対応fをAからBへの写像と呼ぶ。』
>という定義の仕方が間違っているのでしょうか?
ああ。やっとわかった。

対応 f : A -> B が写像であった場合、そのままの定義だと f({x}) = {y} は B の部分集合ですが、面倒なので f(x) = y ∈ B と書くということです。

ペアノの公理の所ではもはや、一般的な対応について考えることはなくなっていて、写像f(x) = x∪{x} と書くことで「対応 f は写像であり、かつ f({x}) = {x∪{x}}」を省略しているのだと思って下さい。

お礼

有難うございます。
納得いたしました。

回答No.1

koko_u_

ペアノの公理は x ∈ A に対して、x∪{x} も A の「要素」であることが核心です。
言い換えると「f が写像である」ことが公理の構成要素として含まれているのです。

お礼

ご回答有難うございます。
つまり、
『対応f:A→Bが特に「x∈A⇒f({x}):単集合」は真　となる時、この対応fをAからBへの写像と呼ぶ。』
という定義の仕方が間違っているのでしょうか?