写像と像の関係について

質問

写像fをf:X→Yとします。すると、像f(X)は以下の条件を満たします。

∀y∈Y,∃x∈X(y=f(x))⇔f(X)=Y …(1)

http://okwave.jp/qa/q3769801.html

の、ANo.2を参照すると、

y∈f(X)⇔∃x∈X(y=f(x))

と記述してありますが、恐らくこれは外延性公理(Ext)を示していて、これを"="に直すと、

f(X)={f(x)|x∈X} …(2)

と、像f(X)を内包的記法で表す事が出来たと思います。上式の右辺ですが、分出公理(Aus)に拠って導出された物だと思われますが、分出公理

Aus:∀X,∃ξ,∀x(x∈ξ⇔(x∈X∧f(x)))

とした時に、

ξ:={x∈X|f(x)}

と成り、(2)と集めたい元と条件が逆になっています。(2)は、分出公理からどうやって導出されるのか、それとも違う方法で(置換公理など)導出されるのかを教えて頂ければ幸いです。それが判れば、(1)とぴったり重なって、その上、論理包含で繋がっているのか、又は連言で繋がっているのか
も明らかに成ると思います。

宜しくお願いします。

回答No.1

tmpname

まず(1)が間違っています。f(X)=Yとすると、
Yより真に小さい集合Y'に対しても当然
∀y∈Y', ∃x∈X (y=f(x)) です。

B.
f(x)はここでは写像として使っているのであって、
論理式ではありませんよね？そう考えると何が
おかしいか分かると思います。

お礼

御回答有難う御座います。

ちょっと危ういので整理します。

(A)
写像f:X→Yに対し、像f(X)は以下の条件を満たす。
Y;⊂Y(Y;はYの真部分集合)に対して

∀y∈Y;∃x∈X(y=f(x))⇔f(X)=Y

唯の部分集合で無くて、「真」部分集合なのでしょうか？上記を眺めると、Y=Sour(f)(始域)、Y;=Dom(f)(定義域)の様に思えますが。

(B)
公理的集合論 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96

より、置換公理Ersが扱うのは「函数クラス」、分出公理Ausが扱うのは「論理式」、つまり分出公理で無く、置換公理と言う事ですか？と言うのが先ず1つ。

もう一つは、「一階述語論理」がらみの問題かと思いました。実は「二階述語論理」で…云々みたいな。実は一/ニ階述語論理の区別が判っていないので、要学習かと思います。