写像について

質問

写像がwell-definedである定義がよく分かりません。

というのも、well-definedの定義が
もしa=bであるなら写像 f(a)=f(b)である。
というのは分かります。

ですが、教科書に、正式な写像の定義とは

写像f:A->Bとは、集合AXBの部分集合（a,f(a))であり　（a∈A、f(a)∈B)
写像がwell-definedである時は、（集合としての)写像の全ての最初の要素（Aに属するもの)が一度しか現れない時である。

みたいなことが書かれてました。

ですが、仮にそうだとしたら

写像　f: A->R
で、f(a)=5
だとします。

ですが、5は10/2とも20/4とも同等関係にあるため、さらに5, 10/2, 20/4∈Rです。

f(a)=5, 5=10/2　で推移律から
f(a)=10/2と言えるはずです。

で、b=5 b'=10/2とおくと

f(a)=b, f(a)=b'
となり、写像は(a,b)と(a,b')と最初の要素aが二個以上出てきます。

つまり、これはwell-definedでは無い、ということになります。

勿論(a,b)と(a,b')は同値関係にあり、上のもしa=bならばf(a)=f(b)である
というのには適応しますが、

教科書の定義には反することになってしまいます。
何故ならこの写像は(a,b)と(a,b')が成立せねばならず、さらにbとb'はRに存在することから
確実に二つ以上の（実際は無限)の最初の要素がaの写像集合が出来てしまうからです。

分かりにくいかもしれませんが、もう一度言うと、
写像の中には推移律により(a,5)も(a,10/2)存在しなければならず、勿論5=10/2ですが、
二組以上存在するのは、確かです。

ということは、教科書の定義が間違っている、ということでしょうか？

それとも、私の理屈に何か間違いがあるのでしょうか。。？

どなたかよろしくお願いします。

回答No.4

MagicianKuma · ベストアンサー

質問者さんのもやもやっとした気分、多少は理解できます。が
2*3は6と同値関係にありますね。でも厳密には2*3（という記号列）は数値ではありません。2*3という演算の結果は数値です。なので、普通2*3と書いたときその演算の結果としての数値を意味しており、6と同値と言っているわけです。同様に10/2という記号列には分数という名称がついており、それそのものが数の様に思えますが、演算の結果としての数値という意味で5の事です。（他の回答者が別の表現と言っている意味です）
集合を習ったときの事を思い出してください。集合のなかには同じ物は含めません。ですからRの元に5という元と10/2という元の2つを含んでいるわけではありません。もし、数値の5をあらわす記号の集合XならX={5,10/2,√25,1*5,・・・}と多くの元を含む事でしょう。

>5はZには存在できるが、10/2はZには存在出来ない。
10/2もZに属しますよ(5という名前で)。9/2はZに属しませんが。

へんな説明かもしれませんが、どうでしょう？

お礼

回答ありがとうございます。

おぉ。。なんとなく分かった気がします！
つまり、少し哲学的な感じになってしまうかもしれませんが、

全く同じ形のボールが三つあったとして、
もし、そのボールを１，２，３とラベルを貼れば、
集合＝｛ボールの種類｝とすると
集合｛ボール１、ボール２、ボール３｝と出来き、要素数は３と出来るが、
もし貼らなければ、
集合｛ボール｝
と要素数は一つとなる、ということでしょうか？

もう一度、集合について勉強してみたいと思います。

回答No.5

itukadarekato

次の部分だけ回答していきます

>これはちがいます。
>ここが大きなポイントで、
>もし(a,b)=(a,b')であったとしても、

違ってないと思いますよ
以下をきちんと読んでみてください

次の2つの基本事項への誤解が重なり合ったことが
変な議論になった大きな原因だと思います

・ = という関係の理解不足
・ 直積の定義では(a,b)=(a,b')ならば a=a, b=b'

>例えば
>(a,5)と(a,10/2)は明らかに同値ですが、
>”違う形式”で５が表現されています。

明らかに同値 ⇒　明らかに等しい

= は確かに同値関係の1つですからこの文章だけを見ると
間違いではありません。しかし、以下の文章から
この裏に勘違いが潜んでいると思われます
以下を確認してください　

>ここが難点で、勿論同値関係ではあるものの、”全く同じもの”ではないですよね？
何故ならひとつは整数、もう一つは分数で表されているからです。

まったく同じものです
5=10/2 という式は
2つの異なる表現形式5と10/2がまったく同じものであることを表します

>つまり、５はZに存在出来ても、　10/2はZには存在出来ないはずです。

存在できます
あなたの理屈では整数の中では　10÷2　という計算はできないことになります
整数zの中で、確かに割り算(除数として0は除く)は自由にはできません
これは、3/2 の様に商がzから飛び出すケースがあるためです
10/2にはあてはまりません

>この点からしても、この二つは同値関係にあるが、全く同じではない、ということでは無いんでしょうか。

繰り返しますがまったく同じものです

お礼

回答ありがとうございます。

はっきりとしたご指摘ありがとうございます。
itukadarekato様含め、皆様のおかげで
自分でのモヤモヤが何がおかしいのか、自分でも分からなかったのですが、

・相等関係の理解
・集合の理解

この二つが曖昧だったのだと良く分かりました。
もう一度勉強しなおします。

皆様のおかげで、又理解が深まりそうです。
ありがとうございます。

回答No.3

kabaokaba

思い込んでるから
何を言っても駄目なんだと思うんだけどねー

例えば・・・
あなたの感覚だと
要は「同じ存在」に二つの名称がついた場合，いつの間にか違うものになる
ということでしょう
あなたが「太郎」さんだとします。
両親からは「太郎」と呼ばれ，
例えば兄弟からは「太郎兄ちゃん」と呼ばれてるとします．
この時点であなたの感覚だと
「太郎」「太郎兄ちゃん」という別個の人間が存在している
というわけですなー

b=5, b'=10/2 ですか
(5,5)と(5,10/2)ですか

集合を考えているときには
その「要素が等しい」ということがすでに定義されてるんです．
その「等しい」という関係をもって「異なる」が定められるのです．
＃ZFCの「集合の相当」まあ「外延公理」で保障される

実数の集合Rを考えている段階で 5=10/2 なんだから
表現は違っても
(5,5)=(5,10/2)なのです．
＃集合Aと集合Bを考えたとき，Aの要素同士が等しいことと
＃Bの要素同士が等しいことは定義されている
＃そして，このときAxBの要素同士が等しいことは直積の定義にきちんと含まれている

それと勝手に「同値関係」とか言ってますが
どういう同値関係ですか？
たしかに同値関係を変えればいろいろできるけど・・・
今は同値関係として「二つの実数が等しい」を考えているとみなすべきですね
＃写像として R->R のものを考えているんだから

となると，やっぱり主張していることは支離滅裂です．

=============
ついでに・・・・
写像を直積集合で定義するってのは
直観的には「グラフ」です．
けど・・・

>写像f:A->Bとは、集合AXBの部分集合（a,f(a))であり　（a∈A、f(a)∈B)
>写像がwell-definedである時は、（集合としての)写像の全ての最初の要素（Aに属するもの)が一度しか>現れない時である。
>
>みたいなことが書かれてました。

「みたいなこと」じゃ駄目．本当に一言一句間違いなく
こういうふうに書いてある？
数学は定義が全てといっていいくらい，定義が重要．
もっと丁寧に書いてないかい？

AxBの部分集合Cを「対応」とかって定めてないかい？

そして，Aの要素aに対して
{(a,y) | (a,y) はCの要素}
というのをC(a)とか書いたりしてaのCによる像とかいう．

Cの定義域Dom(C)というのを
Dom(C)={ a ∈ A | C(a) は空集合じゃない}
と定義したりする．

で，対応Cが写像であるとは
Dom(C)=A
Aの任意の元aに対してC(a)の要素数が1・・(XX)
であることをいう
＃(XX)は厳密にはちょっと表現がちがうと思う・・
＃そもそも，自然数を定義する前に写像は定義されるから循環してるけど
＃そこはなあなあで（いわゆる「対の公理」で単集合を云々・・・を誤魔化した）

こんな感じに定義されるものだから
「みたいなこと」は定義としては，まずいと思う．
そもそもAxBの部分集合は「写像」ではない！のですよ．

お礼

回答ありがとうございます。

そうなんです。。
今まで写像とか普通に使ってて理解もしてるつもりだったんですが、
kabaokaba様が仰ることはごもっともで、他人から見れば、支離滅裂なのは承知しております。
私自身もモヤモヤとした疑問で、明確に説明出来ず、申し訳ありません。。

みたいなこと、と書いたのは、私は英語の教科書を使っているので、私訳で、っということです。
原文を書くと、

"Let A and B be sets. A function f from A to B is a subset of the Cartesian product AXB in which each a in A appears exactly once as the first entry in a pair (x,y)∈A"

です。

違う教科書を読んでも、ほぼ同じような写像の定義がなされています。
これは、多分kabaokaba様が挙げられた写像の定義と一致していると思います。

＞この時点であなたの感覚だと
＞「太郎」「太郎兄ちゃん」という別個の人間が存在している
＞というわけですなー

分かり易い説明ありがとうございます。

つまり、太郎を山田家の長男だとします。
すると
集合＝｛山田家の長男｝

とした場合
集合｛太郎、太郎兄ちゃん、太郎にぃ、太郎さん｝
とは出来きない、というでしょうか？

と言う事は、Rの集合も同じように

｛..5,10/2..}というような５と10/2が同じ集合にカウントしてはならない、ということであっているでしょうか？

回答No.2

alice_44

自分で「5=10/2」と書いてるじゃありませんか。
5 と 10/2 は、表記は違っても、R の元として同じなので、
(a,5) と (a,10/2) は A×R の元として同一です。
したがって、
「全ての最初の要素(Aに属するもの)が一度しか現れない」
には抵触しません。
最初の要素に a が現れる f の唯一の元を
(a,5) と書いても、(a,10/2) と書いても、指しているものは
A×R の同じ元なので、
これが f に「一度しか現れない」ことに変わりはないのです。

その教科書の引用には、何だかヤヤコシゲに書いてありますが、
要するに言っていることは、
http://math.005net.com/yoten/1jikansu1.htm ←にある説明
「 x の値を定めると y の値がただ一つに決まる場合 y は x の関数であるという。」
と同じことなんですよ。

お礼

回答ありがとうございます。

確かに、そう写像を説明して頂くと、納得せざる負えないんですが、
そうすると、やはり教科書の写像の定義が果たして正しいのか、疑問に思えます。

＞5 と 10/2 は、表記は違っても、R の元として同じなので、

ここが、よく分かりません。
というのも、勿論5と10/2は同値関係であることは理解しています。
ですが、本当に元として同じなのでしょうか？

５はZには存在できるが、10/2はZには存在出来ない。

つまり、この二つは表記は違うことにより、存在の有無が関わってしまうことになります。

つまり、5と10/2は全く同じではない、ということになるんではないでしょうか。

そうすると、Rの中でどちらも存在出来ますが、果たしてそれらを同じ元と読んでもいいのでしょうか？
もし、同じ元であるならば、（ここからは乱暴な屁理屈になってしまうのですが。。)
仮にそのどちらか5か10/2を抹消してもRは成立しなくてはなりません。

つまり例えば10/2をRから消してしまえば、10÷２をRの中でしたい時、10/2=5と出来なくなります。

支離滅裂になり申し訳ないのですが、
要約すると、写像の件も含めて

果たして”表記”が違うものでも同値関係にあれば、それは”全く同じもの”、同じ元として見てもいいのか。

あるいは、”同じ”であるという状態は、同値関係にある、ということ同義なのか

ということだと思います。

補足

もう少し具体的に書くと、

例えば、私がaに対して5という対応を欲している時に、
f=(a,5)と書けるわけですが、(a,5)と(a,10/2)は同値関係にあります。

ある機械があるとして、
aと言えば、５と答えるとします。つまり、上の写像を機械にしたわけです。
勿論５と答え欲しいのに、仮に1025/205と答えたらどうでしょうか？
当然私は、機械に一番簡単な５と答えてくれと言います。
ですが、機械は５と1025/205は同値関係であるため、
同じじゃないか、と言ったとします。
でも確実に、こちらからしたら同じではないです。
何故なら５は単純明快ですが、1025/205は一件明らかではないからです。

それと同じように
パスワードがあって、それが５だとします。
私は写像f(a)=5ですから、aを入力することにしたとして５が出れば解除されるはずです。
もし違う時に入力すると写像f(a)=10/2と出されたらパスワードは
解除されなくなってしまい。
つまり、解除される時と解除されない時がある。
ということになってしまうのではないでしょうか？

つまり、(a,5)と(a,10/2)は同値であるが、全く同じではないのでは。。？

なので、f(a)=5というのは写像ではない、ということになっていまいます。
でもこれでは全ての関数は写像では無くなってしまいます。

何がおかしいのでしょうか。。

回答No.1

itukadarekato

整合的に理解していないため
質問内容が支離滅裂になっています

全体が質問として意味をなしませんから、
妥当な回答というわけにはいきませんが最もひどい誤解を2つ指摘します

>well-definedの定義が

well-defined とは定義すべきものではありません

F　を　・・・　で定義したとき
Fが矛盾なく（たとえば写像として）定義されたとします
このようなとき、この定義はwell-definedであるといいます。

>b=5 b'=10/2とおくと f(a)=b, f(a)=b'
となり、写像は(a,b)と(a,b')と最初の要素aが二個以上出てきます。

ここも何をいっているのかよくわかりませんが

おそらく

「1つの a に対して異なる2つの要素が対応し　f(a)=b かつ　f(a)=b' となっている
つまり、(a,b)≠(a,b')」　といいたのではないかと思います

大きな誤解です。次は基本です

5=10/2 ならば　(a,5)=(a,10/2) です。

前の方で、5=10/2　と書いていながら
貴方の理屈では実数Rの中に異なる要素5と10/2が存在することになってしまいます。

お礼

回答ありがとうございます。

支離滅裂で申し訳ありません。。
Well-definedとは確かに矛盾がなく、定義されることですね。、
私が言いたかったのは、その写像が定義される条件といいますか、
ここでは代入原理、もしaとbが同値関係にあれば、f(a)=f(b)である、
と言えなければならないというのがありますが、

このa=b　＝＞　f(a)=f(b)
は果たして教科書に載っている写像の条件と同じなのか、もしちがっていたらどっちが正しいのか、ということです。

＞「1つの a に対して異なる2つの要素が対応し　f(a)=b かつ　f(a)=b' となっている
つまり、(a,b)≠(a,b')」　といいたのではないかと思います

これはちがいます。
ここが大きなポイントで、

もし(a,b)=(a,b')であったとしても、

例えば
(a,5)と(a,10/2)は明らかに同値ですが、
”違う形式”で５が表現されています。

ここが難点で、勿論同値関係ではあるものの、”全く同じもの”ではないですよね？
何故ならひとつは整数、もう一つは分数で表されているからです。

つまり、５はZに存在出来ても、　10/2はZには存在出来ないはずです。

この点からしても、この二つは同値関係にあるが、全く同じではない、ということでは無いんでしょうか。

そこで、教科書の写像の定義に戻ります。

集合　f:A->Bの直積集合 AXBのAの要素が一回しか集合fに現れない時、その集合を写像と呼び、それはwell-definedである。

というのは、

写像（集合)に、(a,5)と(a,10/2)が存在する時、
これは
a=b　＝＞　f(a)=f(b)
には適応していますが、

明らかに直積集合 AXBのAの要素が二回も集合fに存在します。

ということは、教科書の定義によると、これは写像とは呼べない、ということになってしまうのではないか、
代入原理の条件は適応しているのに。

これが、わからないのです。。

うまく説明出来たかわかりませんが、どうしても支離滅裂になってしまい申し訳ありません。。