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証明
zk43の回答
とりあえず、(x+y+z)^3から出発してみましょう。 (x+y+z)^3 =x^3+y^3+z^3+3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2)+6xyz =x^3+y^3+z^2+3{xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)}+6xyz =x^3+y^3+z^3+3{xy(x+y+z)-xyz+yz(x+y+z)-xyz+zx(x+y+z)-xyz}+6xyz =x^3+y^3+z^3+3{(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz}+6xyz =x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz+6xyz =x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx) =(x+y+z){(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)} =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-3xy-3yz-3zx) =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) =(x+y+z)×(1/2)×(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx) =(x+y+z)×(1/2)×(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2) =(x+y+z)×(1/2)×{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}・・・A ≧0 (∵各項はすべて0以上) よって、 x^3+y^3+z^3≧3xyz a=x^3,b=y^3,c=z^3とおけば、 ((a+b+c)/3)≧√abc←(立方根) が出る。 等号が成り立つのは、上のAのところで、 (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0となるときで、 (x-y)^2=0,(y-z)^2=0,(z-x)^2=0 x=y,y=z,z=x x=y=z のとき成立。 すなわち、a=b=cのとき成立。 いろんな証明がありますが、微分積分を習っていないようなので、 このような式変形で直接示しました。対数関数が下に凸である ということを使えば、一般にn変数のときも簡単に出来ます。
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途中式が載っているのでとても分かりやすかったです。 回答に時間をかけていただきどうもありがとうございます。 そても助かりました。