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【重力を考慮した場合の気体の分布】 マクスウェル－ボルツマン分布則
rynの回答
- ryn
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計算が大変なのでいくつか準備をしておきます． まずは，積分範囲 0～∞ のとき ∫x*exp[-ax]dx = (1/a)∫exp[-ax]dx = (1/a)^2 となる． 同じく，積分範囲を 0～∞ として I[n] = ∫x^{2n}*exp[-ax^2]dx のように I[n] を定義すると I[n+1] = ∫x^{2n+2}*exp[-ax^2]dx = ∫x^{2n+1}*{-1/(2a)*exp[-ax^2]}'dx = 1/(2a)*∫(2n+1)x^{2n}*exp[-ax^2]dx = (2n+1)/(2a)*I[n] となる． 例えば ∫x^4*exp[-ax^2]dx = I[2] = 3/(2a)*I[1] = {3/(2a)}*{1/(2a)}*I[0] = {3/(2a)}*{1/(2a)}*(1/2)*√(π/a). さらに， x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ の変換によるヤコビアンは |J| = r^2*sinθ となる．
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