全微分

質問

経済学の問題なのですが、数学さえ出来れば解けると思い、こちらで質問させていただきます。

「生産量Ｙ，資本投入量Ｋ，労働投入量Ｌとする。
Ｙ＝Ｋ^2/3Ｌ^1/3について、技術的限界代替率が労働の増加によって低下することを確かめよ。」

なんですが、これを求めるための式が、

d(-dＫ/dＬ)/dＬ＝-1/2・Ｋ/Ｌ^2＋1/2・1/Ｌ・dＫ/dＬ
＝-3/4・Ｋ/Ｌ^2
となるそうです。

途中の式の右辺の第１項の意味は分かるのですが、第２項1/2・1/Ｌ・dＫ/dＬの意味が分かりません。

どなたかご教授お願います。

回答No.2

physicsache

式が見にくいです・・・

Y = K^(2/3)×L^(1/3)　でしょうか？

お礼

はい、そうです。見にくくてスミマセン。

回答No.1

endlessriver

一休さんになって考えてみました（私は門外漢）。

式を変形するとK^2＝(Y^3)(1/L)。Yを定数とします（？？）。
これをLで微分します。2KdK/dL=(Y^3)(-1/L^2)。まとめるとdK/dL=-K/(2L)
これをもう一度微分します。{(d/dL)^2}K=(d/dL)(dK/dL)=-(dK/dL){1/(2L)}+K/(2L^2)
これをまとめると。{(d/dL)^2}K=3K/(4L^2)

「生産性Yを一定として、労働投入量Ｌの変化による資本投入量Ｋ（技術的代替率）の変化を見よ」とか？？？

お礼

こういう解き方は初めて知りました。参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。