弾力性

質問

資本量をｋ，産出量をｙとします。
生産関数をｙ＝ｆ(ｋ)と表す。(資本をｋだけ投入するとｙだけの算出が得られるという意味の式です）
いま、産出量の資本弾力性をαとします。
これは、資本を１％増やしたとき産出量は何％増えるかを表したものであり、(ｄｙ/ｙ)/(ｄｋ/ｋ）で定義されｋ*ｆ’(ｋ)/ｆ(ｋ)になります。
ここからが質問なのですが
もし２つの経済において産出量にＸ倍の違いがあれば、
資本量はＸ^(1/α)倍違っていなければならないそうです。
一応説明はされてあって、『産出量にＸ倍の差があれば、対数をとると産出はlogＸだけ違わなければならない。いま、αは産出に対する資本弾力性なので資本量は対数値で、(logX)/αだけ違っていなければならない。
よって、資本量はe^{(logX)/α｝つまり、Ｘ^(1/α)倍違う。』

これでもよく分からなくて、「αは産出に対する資本弾力性なので資本量は対数値で、(logX)/αだけ違っていなければならない。」
のところが、しっくりきません。

簡単なことかもしれませんが、分かった方、教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.2

papi-pu · ベストアンサー

>微分方程式はといたことがないですが、調べて計算してみると、おっしゃった形になりました。
変数分離型というものですよね。

はい。変数が分離できるので簡単に計算できます。

>Ｃ＝e~(積分定数)で良いんでしょうか？

はい。それでも良いと思います。ただ、わざわざe^(積分定数)という形にしなくても、ある定数であるということを示すためにCを使っています。見づらくなるからこうしているんだとでも思ってください。この例は追加の質問の回答で触れます。

>『産出量はX倍違うので、
y1=y2*X
とすると、 』
とあって、最後の部分で
『よって、
y1=X^(1/α)*y2 』
何かおかしいような気がするのですが…。
Ｘ＝Ｘ^(1/α) ！？

すみません、タイプミスです(^^ゞ

>(1')式と(2)式の比を取ると、
X=(y1/y2)^α
y1/y2=X^(1/α)

よって、
y1=X^(1/α)*y2

は、

X=(k1/k2)^α
k1/k2=X^(1/α)

よって、
k1=X^(1/α)*k2

に、訂正します。

>y1=C*k1^α・・・(1)
y2=C*k2^α・・・(2)
のCはどちらも同じ値をとる定数なのですか？
私は違っても良いように思えますが…。
同じだとしたらなぜですか？

最初の質問と重複しますが、Cを使った形の解を一般解と呼びます。これは、微分方程式が与えられたら、どんな条件でもその形になります。(Cの値だけが異なる。まれに、全く違う形になることもあります。)
そのため、微分方程式を解くときには条件が与えられます。そして、Cには定数が代入されます。例えば、最初の問題で、「ある国での産出量がy0、資本量がk0であった。」という条件が与えられていたとき、
No.1での回答の一般解に条件を代入して、
y0=C*k0^α
よって、
C=y0/k0^α
が得られます。
これを一般解に代入して、
y=y0/k0^α*k^α
が、本当の解として得られます。

そして、この産出量、資本量、資本弾力性の関係は、条件が同じなら、どのような変数の値に対しても成り立つと考えます。が、当然、半導体生産に投資する場合と自動車生産に投資する場合のように条件が異なればCの値は異なります。

従って、今回の問題の場合、条件が異なるとは書いてないので、Cは同じ値を持ちます。

お礼

非常に丁寧に答えていただいてありがとうございます。
とても分かりやすくて、感謝しております。

回答No.1

papi-pu

こんにちは。

資本弾力性は
α=(dy/y)/(dk/k)=(dy/dk)*(k/y)
=k*f'(k)/f(k)
と表わされて、これが定数とします。

そうすると、この式はyについての微分方程式とみれます。(f(k)では考えにくいので、yについての式として考えます。)
dy/dk=α*y/k

これをyについて解くと、
y=C*k^α ・・・Cは定数
が得られます。

ここで、1，2という2つの経済で、資本量と産出量をそれぞれ、k1, k2, y1, y2とします。そうすると、それぞれの産出量は、
y1=C*k1^α・・・(1)
y2=C*k2^α・・・(2)
となります。

産出量はX倍違うので、
y1=y2*X
とすると、
(1)式は
y2*X=C*k1^α・・・(1')

(1')式と(2)式の比を取ると、
X=(y1/y2)^α
y1/y2=X^(1/α)

よって、
y1=X^(1/α)*y2

1が2のX倍の産出量を持っていた場合、
資本量はX^(1/α)倍になると言えます。

途中、計算を端折った部分があって、わかりにくいと思うので、わからなかった部分をまた補足してください。

お礼

丁寧な解答をありがとうございます。

すみません。もう少し質問させてください。
まず、
y1=C*k1^α・・・(1)
y2=C*k2^α・・・(2)
のCはどちらも同じ値をとる定数なのですか？
私は違っても良いように思えますが…。
同じだとしたらなぜですか？

(1')式と(2)式の比を取ると、
X=(y1/y2)^α
y1/y2=X^(1/α)

のところですが、もし上で質問させていただいた、Cが同じならX=(k1/k2)^α
になると思いますが、X=(y1/y2)^α
にはならないような気がするのですが…。

長々と質問してすみません。
よろしくお願いします。

補足

微分方程式はといたことがないですが、調べて計算してみると、おっしゃった形になりました。
変数分離型というものですよね。
Ｃ＝e~(積分定数)で良いんでしょうか？

後は質問です。
なんとなく分かるのですが、

『産出量はX倍違うので、
y1=y2*X
とすると、 』

とあって、最後の部分で

『よって、
y1=X^(1/α)*y2 』

何かおかしいような気がするのですが…。
Ｘ＝Ｘ^(1/α) ！？