離散型確率変数

質問

確率関数ｐｘ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝＝Ｐ｛ω∈Ω：Ｘ（ω）＝ｘ｝・・(1)
分布関数Ｆｘ（ｘ）＝Ｐ｛－∞＜Ｘ≦ｘ｝・・(2)
　　　　　　　　　＝Ｐ｛ω∈Ω：Ｘ（ω）∈（－∞、ｘ）｝・・(3)
　　　　　　　　　＝Σｐｘ（ｙ）・・(4)
について説明しなければいけないんですが、、
確率関数・分布関数はそもそもなにをあらわしているんでしょうか？
(1)のＰ｛Ｘ＝ｘ｝のＸ＝ｘは何がいいたいんでしょうか？
ω∈Ωはなんと読むんでしょうか？
(4)のｙはどっからでてきたんですか？
この４つについて教えていただきたいんです
ω・・・標本点
Ω・・・標本空間
Ｘ・・・確率変数

回答No.1

shadoworks · ベストアンサー

まず、数式を日本語訳しましょう。

　最初の等式に出てくる二つの式は、まず特定の
事象ｘを実際に当てはめるまで意味を持ちません
・・・数式は大抵「意味を決定する方法」です。
日常語の意味と比べ数学のそれは抽象的過ぎます。

Ｘ＝ｐｘ（ｘ）：
　ｘは事象（イベント＝出来事）の種類。
　ｐｘ（ｘ）は各事象ｘごとに決まった数値。
　　　　函数（関数）は対応＝変換
　　　　ここでは色々な出来事ｘを
　　　　０～１の定数値Ｘに変える。　
　この定数値Ｘは事象ｘを固定するまで変数で、
　だから『確率変数Ｘ』と命名されている。

Ｐ（Ｘ＝ｘ）：（このＸは明らかに≠確率変数Ｘ）
　Ｐは確率一般を表すのによく使われています。
　「こちらのＸ」は多分「実際に起きたこと」を
　指し、それが「特定の」事象ｘに分類された、
　という事態をＸ＝ｘという式で表現して、それ
　に対する確率をｐ（Ｘ＝ｘ）と表す・・・？
・・・関数の変換後に対して使用した文字Ｘを、
勝手に関数の変換前と等式で結びうるシロモノに
使ってはいけないような気がしますね。
　確率変数は数値ですが、事象は数値で表現して
あるかどうかも決まっていないんですから。

　最初の等式の最後の式では、これら３つの式が
じつは「各」事象ｘ「ごと」に確率変数Ｘを定義
したものだということを初めて説明しています。

Ｐ｛ω∈Ω：Ｘ（ω）＝ｘ｝：
　確率Ｐは事象ｘが、標本空間Ωに属する標本ωに
対して「いつも」定義されていて、それに関して
確率変数を定義していたのだという意味でしょう。
（「全ての」だと思うのですが書いてませんね）

　第２の等式ではあらかじめ定義された事象ｘも、
実際に起きる（た）事象＝出来事Ｘも数値として
表現されています（普通数値以外に不等号などは
使わないと思います・・・抽象的な幾何学以外）

　マイナス無限大より大きい＝小さい分には何も
気にしない（ことをはっきりさせます）、です。

　分布関数は数値に対応させた各事象ｘについて、
ある事象ｘとそれ以下の対応数値を持つ事象全て
をまとめたものに対して定義するもので、こんな
ことをするのは事象ｘが「連続する値の一部」で
あった場合、「特定の数値ちょうどそのもの」に
なる確率が普通０パーセントだからなんです。
（例：長さなどの測定値、三角形の面積など）
　これは不定積分に似たところがあり、実際には
例えば―ある一定の範囲内に測定値が納まる確率
を求めたい場合など―測定値の上限と下限に対応
する分布関数の差を求めることになります。
　最後の式は、「あてはまる各ケースについての
確率を始めから全部積み重ねていったものです」
ということを、特に離散的（連続的でない）事象
―例えばサイコロの出目―に関して読み替えたら
こうなるよ、というつもりで書き直したものです。

　最後になってしまいましたが、ω∈Ωはおそらく
「標本ωは標本空間Ωという名前の集合の要素＝元
なんですよ」というちょっと曖昧な記述で、正確
な意味を取るには全称記号∀（全ての、任意の）
とか∃（存在する、ある）とかが欲しい所です。

お礼

ありがとうございます
基本的なことで逆に説明が大変だったとおもいます
あと２時間くらいで発表しなきゃいけないんであせってます
軽く見た感じでわかりやすく書いてあるので助かりました
今プリントアウトしたんで
時間までゆっくりみて考えたいとおもいます
ほんとにありがとうございました！