シュワルツ不等式

質問

l（a,b）l<=lallbl
シュワルツ不等式の証明で
a=/0 lal>0　数ベクトルの大きさは全てゼロ以上であるから
（xa+b,xa+b)＞＝0
が成り立つ、内積の線形性より・・・・・・
このあとは、わかるのですが（かけて判別式ゼロ以下）
最初の（xa+b,xa+b)　これがわかりません。
なぜこの式が出てきたのでしょうか？

回答No.5

zabuzaburo · ベストアンサー

確かにこの証明方法を最初に考えた人は凄いですよね．
こういうのは「自分も思いつかないといけないんだ」と悩むよりも，
「へぇ～，うまくできてるなぁ」と感動できることが大切だと思います．
そして，先人の知恵に敬意を払いつつ，
一種の文化遺産(!?)として継承すれば良いわけです．
でも，こんなにうまく証明できてしまうからには，
誰も気に留めなかったような「見えない繋がり」が
隠されているのかもしれません．

まずは初等的な知識を使って，
シュワルツ不等式を図形的に解釈してみましょう．
3点O,A,Bがあり，(O→A)=a,(O→B)=b とし，a,bのなす角をθとします．
点Bから直線OAに垂線BHを下ろします．
垂線の足Hは点Oから見て点Aと同じ側に来ることもあれば
点Aと反対側に来ることもあります．
さて，直角三角形の斜辺は他の辺よりも長いですから，
OH≦OBです．
ここで， OH = OB|cosθ| であるので，これを用いて書き換えれば
OB|cosθ|≦OB となり，この両辺にOAを掛けると
OA・OB|cosθ|≦OA・OB が得られます．
これをベクトルで書き直すと
|(a,b)|≦|a||b| というシュワルツ不等式になります．

次に，上で用いた「直角三角形の斜辺は他の辺よりも長い」という事実を，
ピタゴラスの定理(三平方の定理)から眺め直してみましょう．
直角三角形BOHの各辺の間には，
OB^2 = OH^2 + BH^2 という関係が成り立ちます．
これは BH^2 = OB^2 - OH^2 と書いても同じことで，
ここで仮に辺OHが斜辺OBより長ければ，BH^2 < 0 となってしまい，
BHが実数として定まらなくなってしまいます．
すなわち，「BH^2≧0であるはずだ」という当然の要請から
OH≦OB が得られ，そこからシュワルツ不等式が導かれる，と考えてもよいわけです．

ここまでが準備段階ですので，しっかり理解してみてください．

さて，ご質問に出てくる証明には
「xa+b」というベクトルが突然出てきました．
この表記はややこしいですが，a,bはベクトルでxは実数ですね．
これをさきほどの図に描き込んでみましょう．
まず，点Bを通りOAに平行な直線mを引きます．
点Oを始点として，xa+bというベクトルをさまざまなxに対して図示すると，
その終点はすべて直線m上に来ることが分かると思います．
証明では「これらのベクトルの大きさの2乗が全て0以上である」
というアタリマエのことを用いていましたが，これを言い換えれば，
「これらのベクトルの中で最も小さい(短い)ものであっても，
その大きさの2乗は0以上である」
となります．
最も短いベクトルはどれかと言うと，点Oから直線mに下ろした垂線ですよね．
そして，その長さは先ほどのBHと等しいはずです．
すなわち，この証明もやはり「BH^2≧0であるはずだ」ということを
出発点にしているわけです．
ここに，前半で示した証明との接点があります．

上では，「ベクトルは矢印だ！」という高校生レベルの捉え方で
初等幾何的な説明をしてみました．その観点からすると，
「xa+b」を用いた証明は非常に回りくどく感じられ，
前半で述べた証明のほうがエレガントに映ります．
しかし，ベクトルをもっと一般的に「数を束ねたもの」として捉え，
「矢印」などという狭い視野を打ち破っているところに，
この証明の意義があるわけです．

回答No.4

hikaru_mac

テクニックです。
(xa+b,xa+b)を考えるとスムーズに証明ができる。
だから、これを利用するのです。

この証明方法を思い付いた人は凄いですね。

補足要求：シュワルツの不等式の証明は理解できてるんですよねえ？
『(xa+b,xa+b)≧0 が成り立つ』理由はわかるんですよねぇ？

回答No.3

nubou

シュワルツの定理：
ｆ（ｘ，ｙ）を２つの実数変数ｘ，ｙの関数とし
ある領域で
（∂／∂ｘ）・f(x,y)，（∂／∂ｙ）・f(x,y)，（∂／∂ｙ）・（∂／∂ｘ）・f(x,y)
が存在し
（∂／∂ｙ）・（∂／∂ｘ）・ｆ（ｘ，ｙ）
がその領域のある点で連続であるときその点で
（∂／∂ｘ）・（∂／∂ｙ）・ｆ（ｘ，ｙ）
が存在し
（∂／∂ｘ）・（∂／∂ｙ）・ｆ（ｘ，ｙ）＝（∂／∂ｙ）・（∂／∂ｘ）・ｆ（ｘ，ｙ）
である

領域：共通部分を持たない２つの開集合に分割することができない開集合（おおざっぱに言えばつながった開集合）

よって不等式でした

回答No.2

nubou

０≦∥∥ｙ∥＾２・ｘ－（ｘ，ｙ）・ｙ∥＾２
＝（∥ｙ∥＾２・ｘ－（ｘ，ｙ）・ｙ，∥ｙ∥＾２・ｘ－（ｘ，ｙ）・ｙ）
をほどいた方がいいみたいですね

回答No.1

nubou

内積公理：
Ｖを複素数上のベクトル空間として
Ｖの２つの元に対して以下の性質を持つ内積と称する複素数（ｘ，ｙ）を定める
ただしｘ，ｙ，ｙ１，ｙ２はＶの元でありｃは複素数である
（１）
（ｘ，ｙ１＋ｙ２）＝（ｘ，ｙ１）＋（ｘ，ｙ２）
（２）
（ｃ・ｘ，ｙ）＝ｃ・（ｘ，ｙ）
（３）
（ｘ，ｙ）＝（ｙ，ｘ）＾＊
（？＾＊は複素数？の共役複素数）
（４）
ｘ≠０のとき０＜（ｘ，ｘ）

ノルム：
Ｖの元ｘに対して∥ｘ∥＝√（（ｘ，ｘ））とする

シュワルツの定理：
｜（ｘ，ｙ）｜≦∥ｘ∥・∥ｙ∥

証明：
［ｙ＝０のとき］
明白
［ｙ≠０のとき］
０≦∥∥ｙ∥・ｘ－（ｘ，ｙ）・ｙ∥＾２
＝（∥ｙ∥・ｘ－（ｘ，ｙ）・ｙ，∥ｙ∥・ｘ－（ｘ，ｙ）・ｙ）
をほどけば判別式を利用しないででます