位相でないものの例

質問

距離空間など位相を定義できるものの例は多々ありますが、位相でないものの例が思いつきません。
何か分かりやすい具体例がありましたら、教えて下さい。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>距離空間など位相を定義できるものの例は多々あります
>が、位相でないものの例が思いつきません。

は

距離空間など位相を定義できるものの例は多々ありますが位相空間ではないものの例が思いつきません

であると解釈すると，回答としては

すべての集合には位相を入れることが可能だから
位相空間にできない例などはない

となります．
位相空間の定義のあたりに
大抵，例としてあります．

任意の集合Xに対して
Xの開集合系として冪集合をとると
これは位相空間とできる
（離散位相という）

任意の集合に対して
Xの開集合系として
空集合φ，X自身をとると
これは位相空間とできる
（密着位相という）

ということで位相空間にできない集合はありません．

「意味がある位相」が入れられない集合はあるか？
ということなら，それは「分かりません」．
そもそも「意味があるか否か」は
ケースバイケースです
＃環の素イデアルの集合なんていうものにも
＃意味のある位相が入りますから・・・・
＃＃Zariski位相

一方，
「位相でない」というのが
「開集合系ではない部分集合族」のことを
いうのであれば
集合Xに対し {{x}} (xはXの元)のようなものを
とればよいでしょう

お礼

参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.3

grothendieck

位相で考えることが適切でない例があります。離散位相と密着位相はすべての集合で定義できますが、大抵の場合適切な位相ではありません。密着位相は開集合が空集合と全集合しかないのであまりにも大雑把で、すべての列が収束列になってしまいます。他方、離散位相はすべての点を峻別するので精密で良いかというと、そんなことはなくて収束列は「ある番号から先は一定」というつまらないものだけになってしまいます。通常、この両極端の中間の位相が適切なものとして使われます。
　しかし、そもそも位相で考えることが適切でない例があります。位相と類似した概念にフィルターがあり、距離空間にできない空間で重要です。シュワルツの超関数論によると超関数の収束は厳密にはフィルターで述べなければならないとあります（私はよくは知りませんが）。また超準解析ではウルトラフィルターが使われます。したがってある種の「近さ」の尺度であるが、位相でないものの例としてフィルターを挙げることができるでしょう。

回答No.1

adinat

意味がわかりません。というか逆にいうと、位相ってなんなのか分かっていますか？

どんな集合にも位相構造を入れることが可能です（たとえば密着位相や離散位相）。逆にいうと位相構造を忘れてやれば、それは単なる集合になります。その意味では、たとえユークリッド空間であっても、位相構造を忘れてやることによって、単なる集合とみなすことができます。